¿Qué es $\int_0^\infty e^{-e^x}dx$?

Question

Podemos calcular la siguiente integral? $$\int_0^\infty e^{-e^x}dx\tag{1}$$ Creo que converge porque $e^x\geq 1+x$$x\geq0$, por lo que tenemos $$0\leq\int_0^\infty e^{-e^x}dx\leq\int_0^\infty e^{-1-x}dx=-\frac{1}{e}e^{-x}\bigg|_0^\infty=\frac{1}{e}.$$ Pero que el número específico de la en $[0,1/e]$ $(1)$ igual?

Answer 1

Deje $u = e^x$. A continuación,$x = \ln u$, lo que implica $dx = (1/u)du$. De ello se sigue que

$$\int_0^\infty e^{-e^x}\, dx = \int_1^\infty e^{-u} \frac{du}{u} = -Ei(-1),$$

donde $Ei(x)$ es la integral exponencial de la función. El valor es $0.219$.