Cómo encontrar la suma de $\displaystyle\sum^n_{k=1} (k^2+k+1)k!$

Question

Cómo encontrar la suma de $$\sum^n_{k=1} (k^2+k+1)k!$$

Lo he intentado de la siguiente manera :

$$\sum^n_{k=1} (k^2+k+1)k!$$

=$$\sum^n_{k=1} (k^2)k!+ \sum^n_{k=1} (k)k! + \sum^n_{k=1} (1)k!$$

Ahora podemos escribir $\sum^n_{k=1} (k^2) $ $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ but what to do with $k!$ por favor, guía gracias.......

Answer 1

Expresión dada es el mismo que $$\sum_{k=1}^n (k(k+1)^2-k)k!=\sum_{k=1}^n(k+1)(k+1)!-\sum_{k=1}^nkk!\\ =\sum_{k=2}^{n+1}kk!-\sum_{k=1}^nkk!=(n+1)(n+1)!-1!1=(n+1)!(n+1)-1$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$(k^2+k+1)k!= (k+1)(k+2) k!+A (k+1)k!+B k!=(k+2)!+A (k+1)!+B k!$$

$$\implies k^2+k+1=(k+1)(k+2)+A(k+1)+B=k^2+k(3+A)+2+A+B $$

Igualando los coeficientes de $x,A+3=1\implies A=-2$

La equiparación de los términos constantes, $A+B+2=1\implies B=-1-A=-1-(-2)=1$

Por eso, $$(k^2+k+1)k!= (k+2)!-2(k+1)!+ k!=(k+2)!-(k+1)!-\{(k+1)!-k!\}$$

Se puede reconocer la telescópico de la serie?