Divisibilidad de 9 y $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Question

Pregunta: Demostrar que para todos los números naturales $n$ mayor que o igual a 1, luego de 9 divide $(n-1)^3+n^3+(n+1)^3$.

Por lo tanto, $(n-1)^3+n^3+(n+1)^3 = 3n^3+6n$,$9c = 3n^3+6n$,$c=(n^3+2n)/3$. Por lo tanto, $c$ debe ser números enteros, pero no sé cómo hacerlo en el siguiente paso ?

Answer 1

Decir que $3n^3+6n$ es divisible por $9$ es equivalente a decir que el $n^3+2n=n(n^2+2)$ es divisible por $3$. Ahora dividida en tres casos: $n=3k$ o $n=3k+1$ o $n=3k+2$ (explicar por qué esto es cierto.) Ahora usted tiene que comprobar a sólo 3 casos.

Answer 2

SUGERENCIA $\rm\quad\displaystyle (n+1)^3 + n^3 + (n-1)^3\ =\ 3\:(n+1)\:n\:(n-1) + 9\:n\ =\ 18\:{n+1 \choose 3} - 9\:n$

Answer 3

A partir de sus cálculos, es suficiente para demostrar que $n^3+2n=n(n^2+2)\equiv 0\pmod{3}$. Si $n\equiv 0\pmod{3}$, por lo que se hace, otra cosa $n\equiv 1,2\pmod{3}$, en cuyo caso $n^2+2\equiv 0\pmod{3}$.

La reducción de la aritmética modular puede ahorrar un montón de desorden de la multiplicación.

Answer 4

Quiere mostrar que $$(n-1)^3+n^3+(n+1)^3 \equiv 0 \pmod 9.$$ There are $9$ casos para comprobar,

• $(0-1)^3+0^3+(0+1)^3 \equiv -1+0+1 \equiv 0 \pmod 9$
• $(1-1)^3+1^3+(1+1)^3 \equiv +0+1-1 \equiv 0 \pmod 9$
• $(2-1)^3+2^3+(2+1)^3 \equiv +1-1+0 \equiv 0 \pmod 9$
• $(3-1)^3+3^3+(3+1)^3 \equiv -1+0+1 \equiv 0 \pmod 9$
• $(4-1)^3+4^3+(4+1)^3 \equiv +0+1-1 \equiv 0 \pmod 9$
• $(5-1)^3+5^3+(5+1)^3 \equiv +1-1+0 \equiv 0 \pmod 9$
• $(6-1)^3+6^3+(6+1)^3 \equiv -1+0+1 \equiv 0 \pmod 9$
• $(7-1)^3+7^3+(7+1)^3 \equiv +0+1-1 \equiv 0 \pmod 9$
• $(8-1)^3+8^3+(8+1)^3 \equiv +1-1+0 \equiv 0 \pmod 9$

Answer 5

Desde $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = 3n(n^2+2)$ sabemos que es divisible por $3$. Si podemos mostrar que $n(n^2+2)$ es también divisible por $3$ $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$ es divisible por $3^2 = 9$. Hay tres casos en los que comprobar:

• $0(0^2+2) \equiv 0 \cdot 2 \equiv 0 \pmod 3$
• $1(1^2+2) \equiv 1 \cdot 0 \equiv 0 \pmod 3$
• $2(2^2+2) \equiv 2 \cdot 0 \equiv 0 \pmod 3$