¿Lo que ' s el nombre de este operador?

Question

Que $f,g$ ser funciones $C^A$ y $C^B$ respectivamente.

Que $\boxtimes:C^A \times C^B \to (C\times C)^{A \times B}$ s.t.

$f\boxtimes g(a,b)=(f(a),g(b))$

No parece ser el producto del tensor, ni producto cartesiano. ¿Entonces podemos llamarla producto directo? Pero parece que el término 'producto directo"de uso frecuente en operador entre estructuras.

Answer 1

Para el punto de vista de la categoría de teoría, su mapa es sólo $f\times g$ - es la imagen de $f$ $g$ en el producto bifunctor $(-)\times(-)$.

Más muestra un, si usted componer $f$ $g$ con la proyección de mapas de $A\times B$, luego de obtener los mapas de $f\circ \pi_1: A\times B \to C$$g\circ \pi_2: A\times B \to C$, factor que a través de $C\times C$ por el universal, propiedad de este último. La mediación de morfismos es excatly $f\times g$.

Si consideras $\mathbf{Set}$ a ser una categoría monoidal declarando $\times$$\otimes$, $f\times g$ es de hecho el producto tensor $f\otimes g$.

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Por otro lado, en el ordinario de la teoría de conjuntos, se suele identificar una función con su gráfica: $$f=\{\langle x,f(x)\rangle\mid f(x)\text{ is defined}\},$$ and in that sense your $f\boxtimes g$ is of course not the cartesian product of $f$ and $g$. Está estrechamente relacionado con: $$ f\boxtimes g = \{ \langle\langle a,b\rangle,\langle c,d\rangle\rangle \mid \langle\langle a,c\rangle,\langle b,d\rangle\rangle \in f\times g\}$$ lo que podría ser visto como una agudización de la justificación de Hurkyl la "transposición" de la terminología.

Answer 2

El mapa es cierta transposición del producto cartesiano.

Dada una función $f : A \to B$ y otra función $g:C \to D$, su producto cartesiano es

$$ f \times g : A \times C \to B \times D : (a,c) \mapsto (f(a), g(c)) $$

La noción de "transposición" entra en la imagen en el sentido de que están cambiando de pensar en una función $A \to C$ al pensamiento de un elemento de $C^A$.