Holomorfo vs diferenciable (en el sentido real).

Question

¿Por qué una función holomorfa es infinitamente diferenciable sólo porque satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann, pero por otro lado, una función real de dos variables que es dos veces diferenciable no es infinitamente diferenciable?

Lo pregunto por dos razones:

1) $\mathbb{R}^2$ es de alguna manera un análogo al plano complejo (son isomorfos).

2) Holomorfo significa que es diferenciable en cualquier dirección del plano complejo, entonces ¿por qué si una función es diferenciable en cualquier dirección del plano real entonces no es infinitamente diferenciable?

Answer 1

Aunque $\mathbb R^2$ y $\mathbb C$ son isomorfos como espacios vectoriales reales, son muy diferentes en algunos aspectos algebraicos, que influyen crucialmente en la noción de diferenciabilidad. Recordemos la idea clave de que una función es diferenciable en un punto si tiene una mejor aproximación lineal (más exactamente, una constante más una transformación lineal) cerca de ese punto.

En el contexto de las funciones $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ Por "transformación lineal" se entiende una transformación que respeta la suma de vectores y la multiplicación por escalares reales. En otras palabras, la transformación respeta la estructura del espacio vectorial real de $\mathbb R^2$ . Es bien sabido que tales transformaciones lineales vienen dadas por $2\times2$ matrices reales (una vez que se ha elegido una base para $\mathbb R^2$ ).

En el contexto de las funciones $\mathbb C\to\mathbb C$ En cambio, por "transformación lineal" se entiende una transformación que respeta la adición de vectores y la multiplicación por complejo escalares. En otras palabras, la transformación respeta la estructura del espacio vectorial complejo de $\mathbb C$ . Es bien sabido que tales transformaciones lineales son simplemente la multiplicación por un único número complejo. Eso es mucho más restrictivo que multiplicar por un número arbitrario $2\times 2$ matriz real.

En concreto, si utilizamos $\{1,i\}$ como base para $\mathbb R^2$ entonces el $2\times 2$ matrices reales que corresponden a complejo Las transformaciones lineales son sólo las de la forma $\pmatrix{a & b\\-b & a}$ . Dado que las transformaciones lineales complejas son un tipo muy especial de transformaciones lineales reales, las funciones diferenciables complejas son un tipo muy especial de funciones diferenciables reales. Esa "especialidad" explica en última instancia todas las consecuencias milagrosas de la diferenciabilidad compleja.

Answer 2

La presentación habitual de las funciones holomorfas (y del análisis complejo en general) es engañosa; el análogo de una función holomorfa a una función en la recta real es uno cuya derivada es cero ¡!

Recordemos una buena propiedad de las funciones holomorfas: si un punto $p$ se encuentra dentro de una región $D$ que tiene un límite $C$ entonces se puede encontrar el valor de una función holomorfa $f(p)$ por sólo una integral de contorno sobre la trayectoria $C$ .

La analogía de esta propiedad con la recta real es la siguiente: sea una región (un intervalo) $D$ cuyo límite son dos puntos $C_+$ y $C_-$ . Entonces el valor de una función en un punto $p \in D$ se caracteriza por totalmente por el valor de la función en $C_+$ y $C_-$ . La única manera de que esto sea posible es si $f$ es constante en $D$ y tiene valores idénticos en $C_+$ y $C_-$ .

(Nota: es posible que $f$ tiene una fuente de función delta en la región en su lugar, pero esto es sólo el análogo de una función meromorfa).

Esta generalización -funciones cuyas derivadas son cero --es lo que, en última instancia, resulta más útil cuando se empieza a estudiar el cálculo vectorial y los espacios reales de mayor dimensión. Los campos escalares que obedecen $\nabla \varphi = 0$ obedecen exactamente a la misma propiedad de estar totalmente caracterizados por sus valores límite.

Del mismo modo, el análogo correcto en $\mathbb R^2$ es para un campo vectorial $F$ para tener una divergencia y una curvatura desvanecidas: $\nabla \cdot F = \nabla \times F = 0$ . Estos campos vectoriales también obedecen a la misma propiedad básica de las funciones holomorfas.

Answer 3

Esta es una de las bellas características del análisis complejo. La respuesta es que las funciones holomorfas pueden representarse mediante una fórmula integral (la fórmula integral de Cauchy), mientras que la mayoría de las funciones continuamente diferenciables (incluso las suaves) sobre $\mathbb R^2$ no puede.

Answer 4

Nótese que una función analítica y compleja $w=f(z)$ implica una función $F:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2$ por $r+is=f(x+iy)$ . El reverso es no Sin embargo, es cierto. Es no el caso de que cualquier diferenciable $F:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2$ implica una función compleja y analítica. Por el contrario, la Ecuaciones de Cauchy-Riemann debe satisfacerse. Así, las partes real e imaginaria están estrechamente vinculadas.