Ha habido una gran cantidad de investigación en la matriz de los grupos, e incluso de la matriz de los anillos, pero el único campo que he oído hablar de que tiene una representación de la matriz de es $\mathbb{C}$. Hay otros campos con una representación de la matriz? También, si es así, ¿cuál es el nombre del estudio de la matriz de representaciones de los campos?
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Sí.
Deje $K$ ser un campo y $f(x)\in K[x]$ un polinomio irreducible. A continuación, podemos construir una matriz con entradas en $K$ con polinomio característico $f$. Para ello, utilizamos el compañero de la matriz o, más generalmente, tomamos una base de el campo de $K[x]/(f)$ (como vectorspace $K$) y la construcción de la matriz $M$ asociada a la aplicación lineal mapa de la multiplicación por la imagen de $x$, se $\bar{x}$, con respecto a esta base. A continuación, $M$ tiene como polinomio característico, $f(x)$, y por el de Cayley-Hamilton teorema $M$ satisface $f$.
Ahora vamos a definir el mapa de $K[x]/(f)\rightarrow M_n(K)$ donde $n=\deg(f)$ $\bar{x}\rightarrow M$ y elementos de $K$ mapa a la diagonal de las matrices. Esta es una representación de la matriz de cualquier finito extensión de $K$.
Siempre que $K$ es un campo y $L\subseteq K$ es un subcampo, se puede considerar $K$ como un espacio vectorial sobre $L$. Si $K$ es finito-dimensional como un espacio vectorial sobre $L$, se puede elegir una base e identificar las $K\cong L^n$. Para cada $\alpha\in K$, el mapa de $\mu_\alpha:K\to K$ $\mu_\alpha(\beta)=\alpha\beta$ $L$- lineal, y por lo tanto puede ser representada como un $n\times n$ matriz con entradas en $L$. De esta manera, el campo de $K$ puede ser identificado con un sub-anillo de la matriz de anillo de $M_n(L)$. La norma de la matriz de representación de los números complejos es simplemente un caso especial de este, cuando $K=\mathbb{C}$, $L=\mathbb{R}$, y la base elegida es $\{1,i\}$.
Estas representaciones se utilizan todo el tiempo en la teoría de campo (por ejemplo, para definir la norma y de seguimiento). Sin embargo, yo no diría que "matriz de representaciones de campos" son en sí mismos estudiado mucho, sobre todo porque su teoría resulta ser muy simple. En particular, no es difícil mostrar que la representación anterior es esencialmente la única forma de representar a $K$ por matrices con entradas en $L$ (esto es, básicamente, la declaración de que cada finito-dimensional espacio vectorial sobre $K$ tiene una base).
AlexMax
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Sí, usted puede representarse a $\mathbb F_4$, el campo con 4 elementos, como las siguientes matrices de más de $\mathbb F_2$, el campo con dos elementos: $$\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right). $$ Usted puede notar que la primera matriz es el compañero de la matriz a la irreductible ( $\mathbb F_2$ ) polinomio $x^2 + x + 1$, $\mathbb F_4$ puede ser construido como $$\frac{\mathbb F_2[x]}{\langle x^2 + x + 1 \rangle}.$$
Para obtener más información, usted puede buscar en google "matriz de representaciones de campos finitos".
