¿Cuál es el límite de la integral $$\int_{[0,1]^n}\frac{x_1^5+x_2^5 + \cdots +x_n^5}{x_1^4+x_2^4 + \cdots +x_n^4} \, dx_1 \, dx_2 \cdots dx_n$$ cuando $n \to \infty$?
Respuesta
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Aquí hay una heurística: Sea $U_i$ variables aleatorias i.i.d. con distribución uniforme en $[0, 1]$. Entonces la integral es igual a
$$ \Bbb{E} \left[ \frac{U_{1}^{5} + \cdots + U_{n}^{5}}{U_{1}^{4} + \cdots + U_{n}^{4}} \right] $$
Ahora, del teorema de la ley fuerte de los grandes números, encontramos que
$$ \frac{U_{1}^{5} + \cdots + U_{n}^{5}}{U_{1}^{4} + \cdots + U_{n}^{4}} \to \frac{\Bbb{E} U_{1}^{5}}{\Bbb{E} U_{1}^{4}} = \frac{5}{6} \quad \text{c.s.} $$
Por lo tanto, el límite de la integral es $\frac{5}{6}$.
La única parte no justificada de este argumento es que intercambiamos el orden de la esperanza y el límite. Esto se puede justificar mediante el teorema de convergencia dominada, junto con la observación de que
$$ \frac{U_{1}^{5} + \cdots + U_{n}^{5}}{U_{1}^{4} + \cdots + U_{n}^{4}} \leq 1. $$
