Puntos límite en el espacio topológico $X$

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Sea $A \subset X$ . El punto $x$ es un punto límite de $A$ si cada vecindad de $x$ contiene un punto $a$ de $A$ no es igual a $x$ .

Estoy pensando en la siguiente pregunta: Si $x$ es un punto límite de $A$ ¿se sostiene que existe una secuencia $x_n $ en $A$ convergiendo a $x$ ?

Por favor, puede decirme si mis pensamientos son correctos: Si $x$ tiene infinitas vecindades entonces hay infinitos puntos diferentes $x_n \in A$ y para los más grandes $n$ están más cerca $x$ por lo tanto $x_n \to x$ y es verdad. Si $x$ sólo tiene un número finito de vecindades, entonces también es cierto: toma la vecindad más pequeña y el punto $x_n = a \in A$ en esa vecindad y luego la secuencia constante $a$ converge a $x$ (aunque $x\neq a$ ).

Answer 1

La propiedad que describes no se cumple en todos los espacios topológicos. Si los puntos límite pueden ser caracterizados por límites de secuencias convergentes, entonces se llama $X$ un espacio secuencial ( Editar Como se señala en el comentario, hay algunas sutilezas en la definición exacta, véase aquí ).

Todo espacio contable en primer lugar es secuencial. La mayoría de los espacios topológicos del "mundo real" son de primer recuento.

Pero también se pueden inventar ejemplos sencillos de espacios no secuenciales. Sea $X$ sea cualquier conjunto incontable y defina una topología sobre él llamando a cada subconjunto de $X$ cuyo complemento es contable Abrir . Además, llama al conjunto vacío Abrir . Esto también se llama el topología contable . Ese espacio responde negativamente a su pregunta.

El problema de las secuencias es que, por naturaleza, son contables, porque están indexadas por números naturales. Sin embargo, se puede generalizar el concepto de secuencias a redes (secuencias de Moore-Smith), donde se puede utilizar cualquier conjunto como conjunto de índices. En el lenguaje de las redes es realmente cierto que todo punto límite es el límite de una red convergente.

Editar: Demostremos que la topología cocontable no es secuencial.

Reclamación: Dejemos que $X$ sea un conjunto incontable dotado de la topología cocontable y $x_n\rightarrow x$ una secuencia convergente. Entonces existe $N$ tal que $x_n=x$ para todos $n\ge N$ .

Prueba: Definir $Y=\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N},\,x_n\not=x\}\subset X$ . Porque $Y$ es contable, su complemento $U=X\backslash Y$ está abierto. También, $x\in U$ porque $x\not\in Y$ . Así que $U$ es una vecindad de $x$ . Por definición de convergencia, existe un $N$ tal que $x_n\in U$ para todos $n\ge N$ . Pero eso significa $x_n\not\in Y$ . Es decir, $x_n=x$ para $n\ge N$ . $\square$

Es decir, toda secuencia convergente es finalmente constante. Así que si consideramos una arbitrario set $A\subset X$ entonces no ganamos ningún punto nuevo al considerar los límites de las secuencias en $A$ . Cada conjunto en $X$ está cerrada secuencialmente.

Answer 2

No es cierto.

Algunos ejemplos:

• Toma el set $\Omega$ de ordinales $\le\omega_1$ en la topología del orden. Entonces $\omega_1$ es un punto límite pero no un punto límite secuencial de $\Omega\setminus\{\omega_1\}$ .
• Tome $=\Bbb R^{\Bbb R}$ con la topología del producto y establecer $$ E=\{f\in \Bbb R^{\Bbb R} \mid f(x)=0\ \text{or}\ 1\ \text{and}\ f(x)=0\ \text{only finitely often}\ \}. $$ Entonces la función cero es un punto límite de $E$ pero no un punto límite secuencial de $E$ .
• En $\ell_2$ con la topología débil, toma $E=\{e_n+ne_m\mid m>n\}$ . Entonces el vector cero es un punto límite de $E$ pero no un punto límite secuencial de $E$ .