Wow, esto es genial! Me gustaría exponer un poco sobre algunas de las cosas que usted ha mencionado. Aunque estoy de acuerdo con Ryan que lo que es excitante y caliente es enteramente subjetivo, yo también encontrar homotopy la teoría y la geometría algebraica apasionante. Yo realmente sólo saber cosas acerca de homotopy teoría, aunque, así que sólo puedo hablar sobre eso.
Hay un montón de lugares para ir resumen loco, bajo el título general de homotopy teoría. Mucho de la categoría de modelos de la teoría es utilizado en muchos lugares, como la Geometría Algebraica! (Esta es la obra de Dugger-Isaksen que Ryan se mencionó anteriormente). Hay un montón de hermosas resumen marco en que las personas trabajan con la que cae bajo el paraguas de homotopy teoría. Personalmente soy un poco más en el cómputo de lado, o más bien pasado de moda "¿cómo calculamos el $\pi_n^S(\mathbb{S})$?" Así que estoy interesado en diferentes aspectos computacionales de la estable homotopy categoría de los espectros. Realmente es un gran campo.
Me di cuenta de que yo no la dirección a su pregunta acerca de por dónde empezar. Hay algunas sorprendentes resultados profundos que son realmente fresco que se puede obtener en un período de tiempo finito. Para homotopy teoría me gustaría trabajar en tratar de llegar a venir resultados clásicos de Adams, como campos vectoriales en esferas o invariante de Hopf. Ambos de estas cuestiones se abordan en Mosher y Tangora (ahora una dover libro). Es un buen libro, pero usted debe saltar ciertos bits, como usted no necesita su construcción de la steenrod operaciones. También existe la teoría de grupo formal de las leyes y de cómo estos se relacionan estable homotopy teoría de que la materia es impresionante. Siendo en JHU, me gustaría empezar por preguntar a Jack Morava o Andrew Salch. Ambos son super nice guys que sabía un montón, pero ellos son muy inteligentes y pueden ser difíciles de mantener. Así que tal vez les pregunte lo que hizo que se inició en estar interesado en estas cosas, o lo que ellos piensan que es algo que es realmente genial para trabajar. Yo también creo que Boardman y Wilson sería excelente que la gente se pregunte, pero no he tenido ninguna interacción con ellos. Son también una profunda cubas de la información. He aprendido mucho de ir a través de el primer tercio de Boardmans CCSS papel, fue genial!
Tan lejos como el de la interacción, es grande! Como Mathew señaló que hay un "nuevo" campo llamado motivic homotopy teoría de que la pregunta "¿qué puede homotopy teoría nos dicen acerca de los esquemas?" Hay otras interacciones sin embargo, un montón de teoría de los números y stackiness es muy interesante, a través de la cromática de la imagen. Un montón de gente en el estudio de los módulos de la pila del grupo formal (leyes) con el fin de obtener en el establo homotopy grupos de esferas. Que los módulos de la pila necesariamente tiene una gran cantidad de AG en ella.
Creo que la mejor cosa a hacer sería hablar con personas de todo acerca de las cosas que están aprendiendo, lo que quiero aprender. De hecho, siéntase libre de dejarme una línea a primera inicial apellido wayne.edu. En serio me cae una línea si usted desea conseguir en un poco más de detalle, no está claro cuál va a ser beneficioso para mí decir sin un poco más de fondo.
PS: hay grandes personas en JHU que saber cargas sobre homotopy teoría, así como sus interacciones con la geometría algebraica. Morava fue pionera en la relación con el campo de clase de teoría, y ahora parece que Salch está tomando todo el camino a Langlands de la Tierra. Sería difícil estar en un mejor lugar para estudiar homotopy teoría!
