Dejemos que $k$ sea un campo finito. Intento demostrar que el grupo de Galois absoluto de $k$ es decir, $G = \operatorname{Gal}(\bar{k} / k)$ donde $\bar{k}$ es un cierre algebraico de $k$ es fuertemente completa, es decir, cada subgrupo $H$ de $G$ de índice finito es abierta en la topología de Krull de $G$ .
Desde $G$ es una unión disjunta de un número finito de cosets izquierdos (o derechos) de $H$ y como la multiplicación por la izquierda (o por la derecha) para un elemento fijo de $G$ es un homeomorfismo, encontré que $H$ está abierto si y sólo si está cerrado. Además, por la correspondencia de Galois sé que $\operatorname{Gal}(\bar{k}/\bar{k}^H) = \operatorname{cl}(H)$ , donde $\bar{k}^H$ es el subcampo de $\bar{k}$ arreglado por $H$ y $\operatorname{cl}(H)$ es el cierre topológico de $H$ .
Sin embargo, no puedo encontrar ninguna manera de probar que $H = \operatorname{cl}(H)$ . Probablemente me estoy perdiendo algo trivial.
Gracias de antemano por cualquier sugerencia.
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Esto puede no ser cierto para un campo general $k$ por lo que se puede utilizar el hecho de que para campos finitos $$\mathrm{Gal}(\overline{k}/k)\cong\widehat{\mathbb{Z}}=\varprojlim_n\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ (generado por Frobenius)
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@curioso, a mí me parece que este es el enfoque correcto. Yo atacaría el problema esperando demostrar que un subgrupo de $\hat{\mathbb Z}$ del índice $n$ se cruza con $\mathbb Z$ en un (el) subgrupo de índice $n$ .
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@Marvolo : Ahora he actualizado mi respuesta, espero que tenga suficientes detalles para terminar. No dudes en hacer cualquier pregunta en los comentarios.
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@PatrickDaSilva Gracias por su ayuda. Lamentablemente, aún no he concluido. Poner $H^\prime = \langle \sigma_k^n \rangle$ y que $F$ sea el campo fijo de $H^\prime$ . Entonces $F$ es el campo de división de $x^{q^n}-x$ , donde $q=|k|$ para que $|F| = q^n$ y $[F:k] = n$ . Sea $E$ sea el campo fijo de $\mbox{cl}(H)$ . De su Sugerencia tenemos que $G / \mbox{cl}(H)$ es cíclico, de orden inferior a $n$ ya que $\sigma_k^n \in H$ implica $\sigma_k^n \in \mbox{cl}(H)$ . Así, $|G / \mbox{cl}(H)| = [E:k]\leq n$ . ...
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... Pero de esto no obtengo información, ya que $E$ es un subcampo de $F$ Por lo tanto, es correcto que $[E:k]\leq [F:k]$ (Estoy tratando de probar $E=F$ ).
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@Marvolo : Permíteme ponerlo así. El subgrupo $H' =\langle \sigma_k^n \rangle$ corresponde al subcampo $F$ y como $F/k$ es Galois (porque es un campo de división de un polinomio separable, como has notado), el subgrupo $H'$ es normal en $G$ . Ahora los subgrupos $H' \le H \le G$ están en correspondencia uno a uno con los subgrupos de $G/H'$ que es el grupo de Galois de la extensión $F/k$ (en particular, un finito grupo cíclico).
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@PatrickDaSilva cuando dice que " $H^\prime$ corresponde a $F$ ", está utilizando la correspondencia de Galois, pero ésta sólo es válida para subgrupos cerrados, por lo que $H^\prime$ ¿está cerrado? De todos modos, si $gH^\prime$ es un generador de $G/H^\prime$ entonces $H/H^\prime$ es generado por $g^d H^\prime$ , donde $d \mid n$ . Así que $H$ es una unión disjunta de un número finito de cosets de $H^\prime$ . Por lo tanto, en realidad, si demuestro que $H^\prime$ está cerrado, entonces $H$ está cerrado.
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@Marvolo : $H'$ es normal ya que $G$ es abeliana. Como $G$ es el límite inverso de las proyecciones $G \to G/\langle \sigma_k^n \rangle \simeq \mathbb Z/n \mathbb Z$ la proyección $G \to G/H'$ es continua, por lo que $H'$ está cerrado. Supongo que lo miré mal la primera vez, pero esto es realmente el primer paso después de mi comentario, de lo contrario no se puede hacer mucho.
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@PatrickDaSilva Tenga en cuenta que en el sentido que usted interpreta $\langle \sigma_k^n\rangle$ , $G/\langle \sigma_k\rangle$ no es el grupo trivial -no todos los elementos de $G$ es una potencia de $\sigma_k$ -. Además, no $G/\langle \sigma_k^n\rangle$ es finito.
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@Josué Tonelli-Cueto : Arghh. Entonces creo que induje a OP en errores. Tienes razón. ¡Al menos lo he intentado! Me disculpo con el OP.