Me he encontrado con un problema desagradable con la no-central $\chi^2$ distribución.
Trabajo con variables aleatorias, distribuidas como $\chi^2_{\nu}(\lambda)$ , donde $\nu$ es el grado de libertad y $\lambda$ es el parámetro de no centralidad (que debe ser estimado de alguna manera).
En "Continuous Multivariate Distributions Vol.2 by S. Kotz, N. Balakrishnan, N. L. Johnson) se dice que el límite de Cramer-Rao para la varianza de los estimadores insesgados de $\hat{\lambda}$ es (página 453, ec. 29.39b): $$CRB_{\hat{\lambda}}=4(\theta\lambda^{-1}-1)^{-1}n^{-1},$$ donde $n$ - es el tamaño de la muestra, $\lambda$ -valor real del parámetro de no centralidad que se está estimando y $\theta$ es el parámetro que tiene las siguientes estimaciones superior e inferior (página 452, ec. 29.36a): $$1+\lambda^{-1}-\frac{1}{2}\nu\lambda^{-2}+\frac{1}{4}\nu^2\lambda^{-3}\leq \theta\lambda^{-1}\sigma^{-2}\leq 1+\frac{5}{4}\lambda^{-1}-\frac{20\nu-13}{39}\lambda^{-2},$$ y $\sigma$ es la varianza del ruido.
He intentado analizar el comportamiento de $CRB_{\hat{\lambda}}$ cuando $\lambda \to 0$ . ¡Pero el problema es que va a cero a! Pero en mi opinión no es lo que deberíamos conseguir. Utilizo una analogía de la física o la estadística matemática . Por ejemplo este problema surge cuando uno estima el cuadrado de la distancia euclidiana entre algún vector determinado y su muestra empírica contaminada por ruido gaussiano blanco aditivo con media cero y varianzas iguales para todos los puntos del vector. Y el resultado que he obtenido ( $CRB_{\hat{\lambda}}\to 0$ cuando $\lambda \to 0$ ) me empuja a concluir que para un nivel fijo de ruido ( $\sigma=\mbox{const}$ ) es posible estimar vectores infinitamente cercanos con una precisión prácticamente infinita (casi con una varianza de estimación nula).
Pero eso no debería ser cierto. Debería ser lo contrario. Entonces, ¿dónde está el problema?
