¿Cuáles son las propiedades topológicas de $\mathbb R $ que lo hace incontable (en comparación con $\mathbb Q $ )?

Question

¿Cuáles son las propiedades topológicas de $\mathbb R $ que lo hace incontable (en comparación con $\mathbb Q $ )?

Además, qué axiomas (o propiedades) de $\mathbb R $ ¿de qué dependen estas propiedades topológicas? (Supongo que la integridad, y por supuesto también la ordenación, ya que es lo que genera la topología habitual...)

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Hay una prueba en la topología de Munkres de que un espacio Hausdorff compacto no vacío que no tiene puntos aislados es incontable. Obviamente, esto se cumple en los intervalos cerrados en $\mathbb R $ , pero en $Q $ Los subconjuntos compactos deben tener puntos aislados (esto se deduce de un argumento que utiliza el teorema de la categoría de Baire). ¿Y se puede demostrar que esto se deduce de la completitud?

Entonces, ¿se puede decir que la incontabilidad de los números reales depende del hecho de que tenemos conjuntos compactos que son perfectos, mientras que el conjunto de los racionales no?

¿Es posible precisar aún más esta distinción? Es decir, que la compacidad y que los conjuntos cerrados sean perfectos dependen de alguna otra propiedad topológica.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una propiedad topológica de $\mathbb{R}$ que lo hace incontable (más precisamente, de tamaño al menos contiuum) es la conectividad. Cualquier espacio conectado de Tychonoff (o incluso funcionalmente de Hausdorff) de al menos dos puntos tiene un tamaño al menos continuo. La conectividad proviene de la completitud, en realidad la completitud de orden y la ausencia de puntos aislados es suficiente. Cualquier espacio topológico (de al menos dos puntos) densamente ordenado linealmente que provenga de un ordenamiento completo tiene un tamaño al menos continuo.

Answer 2

Un espacio métrico completo sin puntos aislados es incontable.