Demostrar que un conjunto algebraico no es isomorfo a $\mathbb{A}^1$

Question

(Para mayor comodidad, estoy asumiendo $\mathbb{K} = \mathbb {C}$.)

Estoy tratando de demostrar que el conjunto algebraico $\mathbb{V}(xz-y^2,x^3-yz,z^2-x^2y) \subseteq \mathbb{A}^3$ no es isomorfo a $\mathbb{A}^1$.

Ya sé que $X = \{(t^3,t^4,t^5) \in \mathbb{A}^3 \;|\; t \in \mathbb{A}^1 \} $,$\mathbb{I}(X) = \langle xz-y^2,x^3-yz,z^2-x^2y \rangle$.

Si hay un isomorfismo entre el$\mathbb{A}^1$$X$,$\mathbb{K}[\mathbb{A}^1] \cong \mathbb{K}[X]$. Pero $\mathbb{K}[\mathbb{A}^1] \cong \mathbb{K}[t]$, mientras que el $\mathbb{K}[X] \cong \mathbb{K}[t^3,t^4,t^5]$ considerando el homomorphism

$$\mathbb{K}[x,y,z] \rightarrow \mathbb{K}[t], \; x\rightarrow t^3, \; y\rightarrow t^4, \; z\rightarrow t^5$$

que ha kernel $\mathbb{I}(X)$ e imagen $\mathbb{K}[t^3,t^4,t^5]$, por lo que

$$\mathbb{K}[X] \cong \mathbb{K}[x,y,z]/\mathbb{I}(X) \cong \mathbb{K}[t^3,t^4,t^5]$$

Así, podemos tener ese $\mathbb{K}[t] \cong \mathbb{K}[t^3,t^4,t^5]$, pero este no es el caso puesto que el primero es un disco flash usb, mientras que el segundo no lo es, ya que por ejemplo, $t^8 = t^3t^5 = (t^4)^2$ tiene dos factorisations. Por lo tanto, $\mathbb{A}^1 \ncong X$.

Es esta línea de razonamiento correcto? Hay una manera más fácil, me podría haber ido?

Answer 1

Forma alternativa es observar que $X$ no es suave en el origen. En otras palabras, la localización de la $\mathbb{C}[x,y,z]/I$ $\mathfrak{m}_0=\langle x,y,z\rangle$ no es regular, donde $I=\langle xz−y^2,x^3−yz,z^2−x^2y\rangle$. Pero $\mathbb{C}[t]$ es suave todo el mundo.

Comprobaremos la anterior afirmación. Podemos utilizar el Jacobiano criterios para la prueba de la regularidad (véase, por ejemplo, Eisenbud del Álgebra Conmutativa, Capítulo 16):

Supongamos $k$ ha char. $0$, e $I=(f_1,\dots,f_m)$ es un ideal en el $S:=k[x_1,\dots,x_n]$. Supongamos $\mathfrak{p}\supset I$ es el primer y $I_\mathfrak{p}$ ha codimension $r$$S_\mathfrak{p}$. Definir la matriz Jacobiana como $$ J_{ij}=\frac{\partial{f_i}}{\partial x_j} $$

A continuación, $(S/I)_\mathfrak{p}$ es un anillo local regular si y sólo si $J$ rango $r$$S/\mathfrak{p}$.

(Esto es decir que la regularidad y suavidad son las mismas cosas en char. $0.)

Ahora, en nuestro caso, tomamos nota de que $I_{\mathfrak{m}_0}$ ha codimension $>0$ $\mathbb{C}[x,y,z]_{\mathfrak{m}_0}$ (de hecho, se ha codimension $3$, pero que no lo necesitan). Pero el Jacobiano $$ J=\left(\begin{array}{ccc}z& -2y&x\\3x^2&-z&-y\\ -2xy&-x^2&2z\end{array}\right) $$

tiene rango de cero en $\mathbb{C}[x,y,z]/\mathfrak{m}_0$. Así, el origen no es un punto suave de $X$.