Infinitesimales y álgebras de lie

Question

He visto en muchos lugares las nociones que álgebra de mentira son objetos infinitesimales y se ven muy cercanas en un punto. Pero nunca he entendido esto. Son objetos algebraicos abstractos diferentes de anillos en que están equipados con un raro tipo de producto y una extraña identidad de Jacobi. ¿Cualquier sugerencias sobre cómo hacer esta conexión a infinitesimales?

Answer 1

El directo infinitesimal analógica de un determinado grupo Mentira no es la Mentira de álgebra con su soporte de la operación y la identidad de Jacobi, pero la Mentira álgebra (pensado sólo como el espacio de vectores tangente a la identidad, sin el añadido de la estructura de soporte de la operación) con la adición de elementos, siendo el grupo de operación. La adición es conmutativa, pero el grupo en general no lo es. Para capturar la noncommutativity que tienes que apretar información adicional del grupo hasta el nivel infinitesimal de la Mentira de álgebra (tomando de segundo orden de la información en la expansión de la serie de los elementos del grupo cerca de la identidad; el espacio de la tangente es de primer orden). La Mentira de la multiplicación $[x,y]$ es el de segundo orden infinitesimal analógica del colector $x y x^{-1} y^{-1}$, y la identidad de Jacobi es un análogo de una identidad para el colector. Históricamente, la identidad de Jacobi para álgebras (que es, para álgebras de Lie cuyo soporte es $XY - YX$ en un álgebra asociativa) debe haber llegado primero, y se utiliza principalmente en álgebras, pero usted puede pensar en él como provenientes del grupo.

A nivel local, de segundo orden de la información es suficiente: la Mentira de álgebra determina la estructura del grupo, hasta algunas de las preguntas de una manera diferente, "global" de la naturaleza (topología) acerca de la conectividad y cubriendo los espacios.

Answer 2

Todo esto es explicado detenidamente en el Capítulo 8 de Fulton y Harris. El hecho clave es que si $G$ está conectado a un grupo Mentira, a continuación, $G$ es generado por los elementos en cualquier barrio de la identidad. Esto implica que una de morfismos de $G$ es determinado por lo que hace a los elementos arbitrariamente cerca de la identidad (y esto es un principio general en la categoría teoría de que un objeto está determinado por la morfismos fuera de él). Ya que disponemos de un espacio de la tangente a la identidad, podemos decir incluso más: resulta que una de morfismos $f : G \to H$ está determinado por su diferencial de $df : T_e G \to T_e H$ donde $T_e$ es el espacio de la tangente a la identidad, también conocido como el álgebra de la Mentira.

Este diferencial es simplemente lineal mapa entre finito-dimensional espacios vectoriales, por lo que es mucho más fácil de manejar que el mapa original $f$. El problema es, entonces, caracterizar el cual lineal mapas puede ocurrir. Como una condición necesaria, $f$ debe preservar la Mentira de soporte en $T_e G$, y si $G$ se conecta simplemente a esto es a la vez necesaria y suficiente. Así que, esencialmente, el punto entero de la extraña definición de una Mentira álgebra es hacer de este teorema verdadero.

Esto significa, a grandes rasgos, que la Mentira de álgebras de captura de los locales, o infinitesimal, la estructura de una Mentira grupo. La Mentira de álgebra de Lie del grupo no se puede capturar el global de la estructura topológica, pero ser capaz de separar la parte fácil y la parte dura de la comprensión de una Mentira grupo es muy valioso.

(La conexión a Carlos " la respuesta es que un vector tangente a la identidad determina, por la traducción, a la izquierda invariante en el campo de vectores en $G$. Usted puede pensar de un campo de vectores como el que se especifica, en cada elemento de a $G$, una dirección en la que algo puede fluir.)

Answer 3

Álgebras de Lie son infinitesimales en el sentido que surgen naturalmente (en espacio $\mathbb{R}$) como tangente en la identidad de un grupo de Lie, que también es lo mismo que los campos del vector invariante izquierda (flujos infinitesimales) en el grupo de Lie.