Si $a,b,c$ son reales positivos tales que $abc=1$, entonces probar que $$\sqrt\frac{a}{a+8} + \sqrt\frac{b}{b+8} +\sqrt\frac{c}{c+8} \geq 1$% $# %x/y,y/z,z/x de #%, pero no ayuda (tengo la desigualdad inversa). Necesita algunos más fuerte desigualdad. Gracias.
Respuesta
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Primero que $$ x = \sqrt{\frac{a}{a+8}}, \,\, y = \sqrt{\frac{b}{b+8}}, \,\, z = \sqrt{\frac{c}{c+8}} \,\, $ $ entonces $1 > x,y,z > 0$ y $$ a = \frac{8x^2}{1 - x^2}, \,\, b = \frac{8y^2}{1 - y^2}, \,\, c = \frac{8z^2}{1 - z^2},\,\, $ $
Así que la pregunta se transforma en esto:
Teniendo en cuenta que $1 > x,y,z > 0, \, \, \frac{512x^2y^2z^2}{(1 - x^2)(1 - y^2)(1 - z^2)} = 1$, demostrar que $x + y + z \geqslant 1$.
Esto prueba por contradicción. Supongamos que por el contrario que $x + y + z < 1$, entonces
$$\begin{align} (1 - x^2)(1 - y^2)(1 - z^2) &= (1 - x)(1 + x)(1 - y)(1 + y)(1 - z)(1 + z) \\ &>(x + x + y + z)(y + z)(x + y + y + z)(x + z)(z + x + y + z)(x + y) \\ &\geqslant 4x^{\frac12}y^{\frac14}z^{\frac14}\cdot 2y^{\frac12}z^{\frac12} \cdot 4y^{\frac12}x^{\frac14}z^{\frac14}\cdot 2x^{\frac12}z^{\frac12} \cdot 4z^{\frac12}y^{\frac14}x^{\frac14}\cdot 2y^{\frac12}x^{\frac12}\\ &=512 x^{\frac12 + \frac14 + \frac12 + \frac14 + \frac12}y^{\frac14 + \frac12 + \frac12 + \frac14 + \frac12}z^{\frac14 + \frac12 +\frac14 + \frac12 + \frac12} \\ &= 512x^2y^2z^2 \end {Alinee el} $$ y esto es contradictorio a la condición.
