Principal valor de $\frac{1}{x^2}$ $\mathbb{R}$

Question

Si miro a la integral

$$PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{ax^2+bx+c}\;\mathrm{d}x$$

bajo la condición de $b^2>4ac$, puedo concluir este es igual a cero. Gráficamente este sentido, la divergencia positiva y negativa de las áreas de "cancelar" el uno con el otro. Si en lugar de $b^2=4ac$ no hay ninguna zona en negativo para cancelar la divergencia positiva de la zona, así que yo creo que debería ser infinito.

Sin embargo, si en mi trabajo me tomo un límite de $b\rightarrow0$ con $a=1$, $c=0$, la integral sigue siendo cero. Wolfram también se da el resultado

$$PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+bx}\;\mathrm{d}x = 0 \;\text{para}\ b\in \mathbb{R}$$

En particular, esto incluye el $b=0$. Simbólicamente me siguen llegando a la conclusión de que

$$PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2}\;\mathrm{d}x = 0$$

pero geométricamente me estoy perdiendo algo. Otros valores principales que he visto me puede ver en un gráfico y en razón de algún tipo de área de cancelación, entre otras cosas, pero $\displaystyle\frac{1}{x^2}$ es positivo en todas partes. Yo también sólo llegar a este resultado mediante la introducción de otras constantes en la función, a continuación, disponer de ellos tienden a, o igual $0$, que es diferente de cualquier otro director valores que he hecho.

Es este el valor del capital realmente correcto? Si es así, ¿por qué $0$ se asocia con una integral de una función positiva en todas partes?

Answer 1

Comencemos con el caso de $b^2> 4 a c$. Entonces hay dos soluciones reales $x_1, x_2$ (digamos,$x_1<x_2$) y podemos escribir $ax^2+b x+c = a (x-x_1)(x-x_2)$. Su integral, a continuación, asume la forma (PV es implícita) $$\int_{-\infty}^{\infty}\!dx\, \frac{1}{a (x-x_1)(x-x_2)} = \lim_{\epsilon_1 ,\epsilon_2 \to 0^+} \int_{(-\infty,x_1-\epsilon_1) \cup (x_1 +\epsilon_1,x_2-\epsilon_2\cup (x_2+\epsilon_2,\infty)} \!dx\,\frac{1}{a (x-x_1)(x-x_2)}.$$ Note that the antiderivative is given by $$\int\!dx\frac{1}{a (x-x_1)(x-x_2)} = \frac{\ln[(x-x_2)/(x-x_1)]}{a(x_2-x_1)}.$$

Obtenemos el resultado $$\int_{-\infty}^{\infty}\!dx\, \frac{1}{a (x-x_1)(x-x_2)} = \lim_{\epsilon_1 ,\epsilon_2 \to 0^+} \frac{1}{a(x_2- x_1)} \left[ - \ln\left(\frac{\epsilon_2}{x_2-x_1}\right) + \ln\left(\frac{\epsilon_2}{x_2-x_1}\right) - \ln\left(\frac{x_2-x_1}{\epsilon_1}\right) + \ln\left(\frac{x_2-x_1}{\epsilon_1}\right) \right] = 0.$$

Para el caso de $b^2 < 4 ac$, no hay ninguna solución real. Las soluciones se $x_1$ $\bar{x}_1$ ( $\mathop{\rm Im}x_1 >0$ ). Por lo tanto, nos puede olvidarse de que el valor del capital y obtener el resultado (por ejemplo, a través de los residuos teorema) $$\int_{-\infty}^{\infty}\!dx\,\frac{1}{ax^2+b x+c} = \frac{\pi}{a \mathop{\rm Im}x_1} = \frac{2\pi}{ \sqrt{4 a c -b^2}}.$$

El caso de $b^2 = 4 ac$, es especial. El límite a partir de el primer caso es de 0. El límite a partir del segundo caso diverge. Como usted ha señalado, la integral de $1/(x-x_1)^2$ es positiva en todo el intervalo de integración, por lo que el resultado correcto diverge claramente.

Tenemos por lo tanto la solución general $$\mathop{\rm P. V.}\int_{-\infty}^{\infty}\!dx\,\frac{1}{ax^2+b x+c} = \begin{cases} \frac{2\pi}{ \sqrt{4 a c -b^2}}, &4 a c > b^2,\\ 0 ,& 4 a c < b^2,\\ \infty,&4 a c = b^2.\end{casos}$$