$P+Q-PQ$ es una proyección si y sólo si $PQ=QP$.

Question

Que $\mathcal H$ es un espacio de Hilbert y $P,Q:\mathcal H \to \mathcal H$ son proyecciones. Quiero mostrar que $P+Q-PQ$ es una proyección si y sólo si $PQ=QP$. Si $PQ=QP$ $P+Q-PQ$ es evidente una proyección. Pero cuando $P+Q-PQ$ es una proyección, ¿cómo puedo mostrar que $PQ=QP$? ¿Intenté utilizar $$(P+Q-PQ)^2=P+Q-PQ$$ And I got: $$QP-QPQ-PQP+(PQ)^2=0$$ And from here: $% $ $(Q-PQ)(P-PQ)=0$alguien puede darme una pista? Gracias de antemano.

Answer 1

Si $P+Q-PQ$ es una proyección, entonces \begin{align} P+Q-PQ &= (P+Q-PQ)^*\\ &= P^* + Q^* - (PQ)^*\\ &= P^* + Q^* - Q^*P^*\\ &= P + Q - QP, \end {Alinee el} de la cual sigue que $PQ=QP$.

Answer 2

Para complementar la respuesta de Math1000, la ruta de trabajo con el % de igualdad $(P+Q-PQ)^2=P+Q-PQ$no puede conducir a una prueba (es decir, el argumento no funciona solo idempotentes). Deje $$ P =\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}, \ \ Q =\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}. $$ Entonces $PQ=Q$, #% y $QP=P$ $$P+Q-PQ=P=(P+Q-PQ)^2.$$