Supongo que $x^2\equiv x\pmod p$ $p$ ¿Dónde está un primo, entonces es generalmente cierto que $x^2\equiv x\pmod {p^n}$ para cualquier número natural $n$? ¿Y las soluciones sólo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No, no es generalmente verdad. Por ejemplo, $$6^2=36\equiv 6\bmod 5$ $ pero %#% $ #%
Supongamos que se nos da un entero $$6^2=36\not\equiv 6\bmod 25.$. Tenga en cuenta que, para cualquier primera energía $x$, $p^n$ $ porque $$x^2\equiv x\pmod {p^n}\iff p^n\mid x(x-1)\iff p^n\mid x\;\; \text{ or }\;\;p^n\mid (x-1)$ y $x$ son relativamente privilegiadas. Por lo tanto, es verdadera si y sólo si el $x-1$% $ de #% donde $$x^2\equiv x\pmod {p^n}$ denota el número de las épocas #% va en $$n\leq\max\{v_p(x),v_p(x-1)\}$ $v_p(d)$ $.
Lubin
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La palabra inglesa "cualquiera" es resbaladizo, pero creo que la pregunta si si $x\equiv x^2 \pmod{p}$, entonces el $x\equiv x^2 \pmod{p^n}$ vale para todos los $n$. Una forma posible de mirar una congruencia que es cierto modulo todos los poderes del primer $p$ es que es realmente una declaración sobre la igualdad en el campo ${\mathbb Q}_p$ $p$-números adic. Particularmente, si $x\equiv x^2$ modulo todos los poderes de $p$, entonces el $x=x^2$ ${\mathbb Q}_p$. Pero desde el $p$-los números adic son un campo, álgebra de la high School secundaria te dice que sea $x=0$ o $x=1$.
Oli
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Paso 1: nos Vamos a calcular un poco. Deje $p=2$. Tenga en cuenta que $x^2\equiv x \pmod 2$ cualquier $x$. Es cierto que siempre se $x^2\equiv x\pmod 4$? No, vamos a $x=2$.
Forma 2: trabajamos más, pero van a tener mucho más información. Reescribir la congruencia $x^2\equiv x \pmod p$$x^2-x\equiv 0 \pmod p$, y luego como $x(x-1)\equiv 0\pmod p$.
Esto nos dice que el producto de $x$ $x-1$ es divisible por $p$. Un producto $ab$ es divisible por los primos $p$ si y sólo si $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$, o ambos.
Por lo $x(x-1)$ es divisible por $p$ si y sólo si $x$ es divisible por $p$ o $x-1$ es divisible por $p$, es decir, si y sólo si $x\equiv 0 \pmod p$ o $x\equiv 1 \pmod p$.
Ahora viene esta fuerza $x(x-1) \equiv 0 \pmod {p^2}$? No, por ejemplo, podríamos tomar a $x=p$. Ciertamente, no es cierto que $p(p-1)$ es divisible por $p^2$. También podríamos tomar $x=2p$ o $x=3p$, y así sucesivamente hasta el $x=(p-1)p$. O podríamos poner la maldad en el $x-1$ parte, poniendo a $x=1+p$ o $x=1+2p$, y así sucesivamente hasta el $x=1+(p-1)p$. Tenemos un total de $2(p-1)$ números de $x$ $0$ $p^2-1$ tal que $x^2\equiv x \pmod p$ pero $x^2\not\equiv x \pmod{p^2}$.
Podemos igualmente identificar los números de $x$ $0$ $p^n-1$ tal que $x(x-1)\equiv 0 \pmod p$ pero $x(x-1)\not \equiv 0 \pmod{p^n}$. De nuevo, son de dos tipos: (i) los números $p$, $2p$, y así sucesivamente hasta el $p(p^{n-1}-1)$ y (ii) los números obtenidos por la adición de $1$ a los números en la lista (i).
