¿Implica $ \int_a^b |f(x) - f_1(x)| = 0$ $ \int_a^b |f(x) - f_1(x)|^2 = 0$?

Question

Contexto: estoy tratando de solucionar este problema:

Supongamos que $f, f_1, g, g_1$ todos Riemann integrables valoradas las funciones complejas en $[a, b]$ tal que $f \sim f_1$ y $g \sim g_1$. Prueba $\langle f, g \rangle = \langle f_1, g_1 \rangle$.

En este problema, $f \sim f_1$ significa $ \int_a^b |f(x) - f_1(x)| = 0$, $\langle f, g \rangle$ es el producto escalar hermítica $ \int_a^b f(x) \overline{g(x)}$ y $\|f\| = \sqrt{\langle f, f \rangle}$.

Traté de decir eso\begin{align}\langle f, g \rangle &= \langle f - f_1, g \rangle + \langle f_1, g \rangle\\[0.2cm]&= \langle f - f_1, g \rangle + \overline{\langle g, f_1 \rangle}\\[0.2cm]&= \langle f - f_1, g \rangle + \overline{\langle g - g_1, f_1 \rangle} + \overline{\langle g_1, f_1 \rangle}\\[0.2cm]&= \langle f - f_1, g \rangle + \langle f_1, g - g_1 \rangle + \langle f_1, g_1 \rangle\end {Alinee el}

Y quería decir que los dos primeros términos son $0$ por la desigualdad de Cauchy Schwarz, por decir $$|\langle f - f_1, g \rangle| \leq \|f-f_1\| \cdot \|g\|$$ and that $\|f - f_1\|$ is $0$, so the left side is too. So that's why I'm wondering if there's a way to show that $$\int_a^b |f(x) - f_1(x)| = 0 \implies \int_a^b |f(x) - f_1(x)|^2 = 0$$

Answer 1

La función $|f - f_{1}|$ es Riemann integrable en $[a, b]$, por lo tanto limitado. Es decir, existe un número real $M$ tal que |f(x) $$ - f_{1}(x) | \leq M, \qquad \leq x \leq b. $$, $$ \int_{a}^{b} |f(x) - f_ {1} (x) | ^ {2} \, dx \leq M \int_{a}^{b} |f(x) - f_ {1} (x) | \, dx = 0. $$

Answer 2

Debido a $|f(x)-f_1(x)|$ es no negativo, la condición de $\int_a^b|f(x)-f_1(x)|dx=0$ implica que el $|f(x)-f_1(x)|=0$ en casi todas partes en $[a,b]$. Por lo tanto, $|f(x)-f_1(x)|^2=0$ en casi todas partes en $[a,b]$ y obtenemos $\int_a^b|f(x)-f_1(x)|^2dx=0$.

Estoy utilizando el estándar siguiente resultado:

Teorema: Vamos a $f:[a,b]\to[0,\infty)$ ser un no-negativa de Riemann-integrable función. A continuación, $\int_a^bf(x)dx=0$ si y sólo si el conjunto de $$\{x\in[a,b]:f(x)\neq 0\}$$ tiene una medida de $0$.

A partir de este resultado podemos obtener de inmediato que para un no-negativa de Riemann-integrable función de $f:[a,b]\to[0,\infty),$ $$\int_a^bf(x)\,dx=0\implies\int_a^bf(x)^2\,dx=0.$$