Función que devuelve un número negativo para x negativo y y

Question

Necesito una función, $$f(x,y):\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ $, que devuelve negativo un número sólo si x e y son negativos. Puede utilizar las cuatro operaciones básicas, computación tan por ejemplo el valor absoluto o la raíz cuadrada no se permiten.

Sólo encontré la solución utilizando el valor absoluto: $$ -(x-|x|)*(y-|y|)$ $

¿Es posible con sólo la operación básica cuatro (+, -, *, y /)? Y si no es así, ¿por qué?

Answer 1

Si usted se limita a las cuatro operaciones básicas, todo lo que puedes conseguir es una función racional $f(x,y)=\frac{p(x,y)}{q(x,y)}$ donde $p,q$ son polinomios en $x$$y$. Desde que desee $f$ a ser definido en todas partes, $q$ no debe tener ceros, por lo que podemos asumir wlog. que $q(x,y)>0$ todos los $x,y$. Esto nos permite usar simplemente $f(x,y)=p(x,y)$, es decir, un polinomio.

Si su asignación formulación realmente lee "sólo si", usted puede simplemente tomar $f(x,y)=0$, que nunca devuelve los valores negativos; o intentar algo más interesante como $(x+1)^2+(y+1)^2-1$, que al menos se vuelve negativo para algunos puntos en la thord cuadrante, pero nunca en los otros cuadrantes.

Si lo que quieres es "si y sólo si", sin embargo, no hay tal polinomio $p$: Si se conecta en una constante arbitraria $c\in\mathbb R$$y$, se obtiene un polinomio univariado $f_c(x)=p(x,c)$ $\deg f_c$ es el mismo para todos los $c$ con a lo sumo un número finito de excepciones: Si escribimos $p(x,y)=\sum_{i,j}a_{i,j}x^iy^j$ (donde sólo un número finito de $a_{i,j}$ son cero), deje $d=\max\{\,i\mid a_{i,j}\ne 0\,\}$. A continuación, $\deg f_c\le d$ todos los $c$ y la desigualdad es estricta sólo si $c$ está entre los fintely muchas soluciones de $\sum_{i=d}a_{i,j}c^j=0$. Pero para la deseada condición, necesitamos ese $\deg f_c$ es incluso para todos los $c\ge 0$ e impar para todos los $c<0$.