¿Por qué existen soluciones extrañas?

Question

Actualmente estoy en una clase de Cálculo en mi Escuela secundaria. Me he encontrado con el concepto de soluciones extrañas, especialmente a la hora de resolver valor absoluto ecuaciones, ecuaciones con radicales y ecuaciones logarítmicas. Mi pregunta es, ¿por qué estas soluciones existen?

Mi maestro nunca explicado esto, lo cual es comprensible dado que estoy en una Escuela secundaria en la clase de matemáticas, y no hay mucho tiempo para que el maestro se ve en la real derivaciones de todo. Me pregunto porque tengo el plan de especialización en Matemáticas, y tener una comprensión conceptual de esto es importante para mí.

Si alguien pudiera explicar la razón por la extraña existen soluciones para los tres ejemplos que he señalado, sería de gran ayuda para mí.

Answer 1

Una de las razones extrañas que existen soluciones es debido a que algunas funciones no inyectiva. En particular, dada la igualdad

$$a(x)=b(x)$$

podemos cuadrado ambos lados para obtener

$a(x)^2 = b(x)^2$. Es cierto que $a(x)=b(x) \Longrightarrow a(x)^2 = b(x)^2$; sin embargo, no es cierto que $a(x)^2 = b(x)^2 \Longrightarrow a(x)=b(x)$. En particular, podemos tener $a(x) = -b(x)$.

En consecuencia, podemos tener soluciones de $x$ a de la ecuación de $a(x)^2 = b(x)^2$ que satisfacer $a(x) = -b(x)$ pero no $a(x) = b(x)$. Estos son extraños. En general, usted no perderá soluciones cuadrado ambos lados, pero la ganancia de extraños.

Otra razón es de dominio consideraciones. Considere la ecuación logarítmica

$\log(f(x)) + \log(g(x)) = \log(h(x))$

Por lo tanto, solucionar $f(x) \cdot g(x) = h(x)$. Podemos conseguir un montón de soluciones de $x$ a esta ecuación, pero sólo son válidas tanto tiempo como $f(x)$ $g(x)$ son mayores que cero, porque la identidad de $\log(x) + \log(y) = \log(xy)$ sólo funciona para los positivos $x,y$. Sin embargo, de nuevo, usted no perderá soluciones con este método. Si $x$ satisface $\log(f(x)) + \log(g(x)) = \log(h(x))$, luego de que $x$ también debe satisfacer $f(x) \cdot g(x) = h(x)$.

Usted tiene que recordar lo que hacer cuando se resuelve una ecuación. Es fácil olvidar, ya que es casi una segunda naturaleza para nosotros. Lo que se hace es alterar la ecuación dada tal que las soluciones a la ecuación se conservan. Cuando la suma y la resta, no es nunca un problema, ya que la suma y la resta son bijective mapas. Otras funciones pueden no ser tan bonito, y su alteración de la ecuación puede producir soluciones que no resuelven la ecuación original.

Answer 2

Los appeear de "soluciones" porque en el proceso de resolver la ecuación que haces cosas que no son reversibles.

Por ejemplo, supongamos que desea resolver la ecuación (fácil)! $$x=-1.$$ If you square both sides, you obtain $$x^2=1,$$ and this can be solved using the formula for roots of a quadratic equation (!) to find the two solutions $1 $ and $-1$. Sólo uno de estos es una solución de la ecuación original.

¿Se puede detectar el paso irreversible que tomé?

Answer 3

La razón soluciones extrañas existen es porque algunas operaciones producir 'extra' respuestas, y a veces, estas operaciones son una parte de el camino a la solución del problema.

Cuando tenemos estos 'extra' respuestas, por lo general, no funciona cuando tratamos de enchufe de nuevo en el problema original.

El cuadrado es una operación común que produce múltiples valores. Mariano Suárez-Alvarez♦ notas,

$$x=-1\tag1$$

$$\implies x^2=(-1)^2=1$$

$$\implies x^2-1=0$$

$$\implies x=\pm1$$

Pero obviamente, vemos a $x\ne+1$, como se puede ver por $(1)$.

La lectura de sus comentarios, veo que usted presente un ejemplo:

$$a^n=b^n\implies a=b$$

Esto sólo es parcialmente cierto, para el pleno algebraicas solución a este problema está dada como

$$ae^{\frac{2}ni\pi x}=b$$

Donde $x=0,1,2,3,\dots$

Para $x=0$, este se descompone en $ae^0=a=b$, pero ese no es el cuadro completo.

Así que si tenemos algo como $x=a\implies x^n=a^n$, el último de la igualdad produce muchos resultados diferentes, mientras que el original de la igualdad tiene un solo resultado.

Extraños soluciones para los problemas generales como $x+a=\sqrt{x+b}$ son en realidad bastante interesante, pero aún más la comprensión de las cosas, como las ramas y los números complejos que deben ser entendidos para comprender plenamente el significado de esas soluciones extrañas. (Si usted realmente quiere, resolver algunos de estos raíz cuadrada problemas usando la fórmula cuadrática, y nota que de las dos soluciones de la fórmula cuadrática juego salió a la derecha ($+$ o $-$?))

Por último, las soluciones extrañas cuando se trata con los logaritmos son simplemente debido a su falta de comprensión de cómo los números complejos jugar en logaritmos. Cuando se debe utilizar la definición de un logaritmo sólo está definida para valores positivos de entrada real, entonces usted va a obtener soluciones extrañas por la misma razón que usted tiene que el parámetro en el lugar. Una vez que aprender a lidiar con complejos logaritmos, no creo que usted puede tener soluciones extrañas en logaritmos.

No recuerdo haciendo extrañas de soluciones para valores absolutos, pero estoy seguro que hay una explicación para aquellos.

Answer 4

Una fuente de soluciones extrañas es de definiciones. Si usted quiere resolver $$x+a=\sqrt{x+b},$ $ generalmente cuadrado ambos lados y resolver la ecuación resultante: $$(x+a)^2=x+b.$ $ sin embargo, la raíz cuadrada está definida para ser no negativo, mientras que puede haber algunas soluciones donde $x+a<0$.

EXTRA:

En cuanto a logaritmos, es posible que $\log(xy)$ definirse sin $\log(x)+\log(y)$ se define; la forma combinada permite más posibilidades ($x,y<0$ o $x,y>0$) que la forma ampliada ($x,y>0$).