¿Probabilidad de obtener una cabeza en la moneda antes de un 1 o 2 en el dado?

Question

Me encontré con esta pregunta recientemente y parece que no puede encontrar el enfoque correcto. Cualquier ayuda se agradece!

Un experimento consiste en lanzar una imparcial de la moneda y, a continuación, rodar una feria de morir.

Si llevamos a cabo este experimento, sucesivamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda antes de que un $1$ o $2$ sobre el morir?
$P(\text{Heads}) = \frac{1}{2}$
$P(1,2) = \frac{1}{3}$
Si $A_i$ representa el caso de que un $1$ o $2$ se rodó en el $i^{th}$ lanzamiento, entonces tengo que encontrar los siguientes:
$$\bigcup^{\infty}_{i=1} P(A_i).$$

Pero no estoy seguro de cómo encontrar esta y también incorporar la probabilidad de aterrizaje en la cabeza antes de este... Me estoy acercando a este correctamente o debería ser la asignación aleatoria de las variables de trabajo y a partir de ahí?

Answer 1

Una forma simple de encontrar la probabilidad de afección sobre el resultado de la primera ronda. Es claro que hay una cierta probabilidad de $p$ de la obtención de una cabeza antes (aunque no necesariamente de forma inmediata antes de) a $1$ o $2$. Llamar a que la probabilidad de ganar.

Ganamos (i) si recibimos una cabeza en la primera ronda, o (ii), llegamos a la cola, no rodar un $1$ o $2$, pero en última instancia, ganar.

La probabilidad de que (i) es $\frac{1}{2}$.

Para (ii), tenga en cuenta que la probabilidad de la cola y, a continuación, algo distinto de $1$ o $2$$\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{6}$. Dado que esto ha sucedido, la probabilidad de que en última instancia, ganar es $p$. Así $$p=\frac{1}{2}+p\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{6}.$$ Resolver esta ecuación lineal para $p$. Llegamos $p=\frac{3}{4}$.

Answer 2

Esta es la probabilidad de no-jefes y la probabilidad de no-1,2 antes de que una cabeza aparecen en $n$ play, donde un juego es meter en orden de primero una moneda y después de un dado.

Así que un juego antes de la última jugada (cuando un jefe sucede) no es la cabeza Y no-1,2. Debido a que los dos eventos son independientes una de la otra (una moneda y un dado), entonces tenemos que la probabilidad de que algunos de $n$ que una cabeza ocurrir antes de un 1 o un 2 en el dado es

$$\left(\frac12\cdot\frac46\right)^{n-1}\cdot\frac12$$

porque la probabilidad de que los dados muestran algo diferente de uno o dos es $\frac46$, y la probabilidad de que la moneda mostrar la cola o la cabeza es $\frac12$. Luego tenemos a $n-1$ juega donde no podemos tener una cabeza o un 1 o 2, y en la última jugada que podemos tener en la moneda de una cabeza (en los dados no importa lo conseguimos después de lanzar la moneda).

Entonces la probabilidad de que esto ocurra en cualquier $n$ número de obras de teatro es la probabilidad de que esto suceda en un juego O dos obras de teatro O de tres obras de teatro O..., es decir,

$$\sum_{n\ge 1}\left(\frac13\right)^{n-1}\cdot\frac12=\frac12\sum_{n\ge 0}\left(\frac13\right)^n=\frac12\cdot\frac1{1-\frac13}=\frac34$$

Answer 3

Uso de recursividad; Sea $p$ probabilidad de su suceso. Entonces, tenemos $$p= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times p,$ $ donde el primer término es la probabilidad de tener la cabeza en el primer sorteo y resultados del segundo término de la cola en sorteo y 3-6 en el primer rollo y tener cabeza antes de que trata de 1-2 en la siguiente.

Así, $p=0.75$.

Answer 4

Lo que está describiendo es una serie.

Se podría pensar en esto como un juego entre Alice y Bob, donde Alice tira la moneda (gana con una cabeza) y Bob tira el dado (gana con 1 o 2). Esencialmente, usted se pregunta cuál es la probabilidad de que Alicia gana antes de que Bob $$P(A<B).$$

Bueno, ella podría ganar antes de Bob en el

1. Primera ronda $(A_1)$ con probabilidad de $P(A_1) = 1/2$.
2. Segunda ronda de $(A_2)$, lo que significa que Alice perdido, Bob perdido y, a continuación, Alice lanzó una ganancia de Cabeza. Esto ocurre con probabilidad $$P(A_2) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}.$$
3. La tercera ronda de la $(A_3)$, lo que significa que Alice perdido, Bob perdido, Alice perdido, Bob perdido, y, finalmente, Alice voltea una ganancia de cabeza. Esto ocurre con probabilidad $$P(A_3) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}.$$
4. Etc.

Ya que los eventos son disjuntos, podemos añadir el probabilites. Esto nos da (la serie que desea), $$P(A<B) = \sum_{k = 1}^\infty P(A_i) = \sum_{k = 1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\frac{1}{2} = \frac{3}{4}.$$

La razón por la que me marco esto en términos de un juego es porque junto a la evaluación de una serie, también podemos utilizar el juego de dados principio; con respecto a una ronda en particular, \begin{align*} P(A<B) &= \frac{P(\text{Alice wins})}{1-P(\text{Draw})} = \frac{1/2}{1-(1/2)(2/3)} = \frac{3}{4}\\ &= \frac{P(\text{Alice wins})}{P(\text{Alice wins})+P(\text{Bob wins})} = \frac{1/2}{1/2+(1/2)(1/3)} = \frac{3}{4}. \end{align*}