Vamos a dar algunos intuición geométrica - voy a asumir que usted está familiarizado con, y tiene un alcance intuitivo de la geometría nociones de simplicial complejos (o, más generalmente, el delta-complejos, que ya son un poco de combinatoria). Simplicial conjuntos son sólo una generalización de esta idea que combinatorializes es lo que no podemos hablar de mapas de real simplices real de los espacios, lo que sucede tiene una muy bonita descripción categórica como un functor contravariante $X:\Delta^{\text{op}}\to \textbf{Set}$. La categoría de estos (nada pero la categoría de presheaves en $\Delta$) es, entonces, la categoría de simplicial conjuntos.
Así que, trabajando hacia atrás, lo bonito de mapas podría queremos ver en la categoría de simplicial conjuntos? Así, en simplicial complejos, tenemos el conocido mapa de los límites de $\partial$, pero queremos ser capaces de acceder a cada cara de los límites de un complejo/set directamente - por lo tanto la cara mapas de $\partial_1,\partial_2,\ldots,\partial_n$ mapa que símplex a la cara que carece de la $i$th vértice en un simplex. Tenemos $n$ cara de mapas en un $n$-simplex, pero la cara de mapas de todo el mapa a un $n-1$-simplex, lo que sugiere un conjunto simplicial $X$ debe ser "gradual" de alguna manera - esta es la razón por la que creo que de la simple categoría de los ordinales: $[n]$ corresponderá a la $n$-simplex, y la cara mapa enviar a algo correspondientes a $[n-1]$.
Pero $\Delta$ sólo dispone de una copia de cada ordinal; necesitamos asociar un conjunto de simplices a cada uno de los ordinales: de repente, la idea parece natural tomar un functor $X$ a $\textbf{Set}$, por lo que el $X[n]$ sería un conjunto, cuyos elementos podrían, a continuación, corresponden a la $n$-simplices. Además, echemos un vistazo a la inicial del objeto $\emptyset$. Esto de los mapas en el vacío conjunto simplicial. Si tomamos composiciones de cara mapas como el único tipo natural de la dimensión "bajar" el mapa, entonces nos encontramos con que no debe "efectivamente", sólo habrá un mapa en $\emptyset$, ya que cualquier combinación de cara mapas en un complejo de eliminar los vértices de uno por uno en orden, por lo que el objeto inicial se convierte en terminal. De hecho, en general, la inclusión de los pequeños números ordinales en los más grandes parece encajar de manera más natural con "inclusiones" de los conjuntos de mayor simplices en los grandes conjuntos de la parte inferior de sus dimensiones caras, que da a la intuición detrás de un conjunto simplicial dado por un functor contravariante (un presheaf).
Ahora, sorprendentemente, todo comienza a trabajar: todos los $n$ inclusiones $[n-1]\to [n]$ tiene una muy buena correspondencia con intuición geométrica idea de tomar las caras de la simplexes en el conjunto $X[n]$ a un mapa en un subconjunto de a $X[n-1]$: "saltar" a la $i$th elemento en $[n]$ corresponde a la eliminación de las $i$th vértice. Tenemos por lo tanto, llamar a la ex morfismos de $\Delta$ el coface morfismos (debido a la contravarianza), y denotan ellos por $\delta^i$, en la tradición de la dualidad de la notación. A continuación, el clásico de la cara mapa de identidad $\delta_i\delta_j=\delta_{j-1}\delta_i$ ("extracción de la $j$th y, a continuación, $i$th vértice es el mismo como la eliminación de la $i$th y, a continuación, el $j-1$st al $j$ viene después de $i$ en el ordenamiento de las simplex," ya que la numeración de las $j$ es trasladado a uno de regreso al $i$ es eliminado) se convierte en dualized cuando se tira de nuevo a través de la functor contravariante de a $\delta^j\delta^i=\delta^i\delta^j$, lo que llamamos el coface identidad. Podemos inspeccionar para ver esto es obviamente cierto en $\Delta$ trabajando los mapas en un ordinal.
Finalmente, a partir de una combinatoria perspectiva, la categoría de $\Delta$ es claramente generado por el coface morfismos de arriba, y morfismos de la forma $s_i:[n]\to[n-1]$ "doble" en el elemento $i$. Esta llena de la falta de cualquier dimensión de recaudación de mapas en nuestra simplicial categoría: las imágenes de $Xg:G[n-1]\to G[n]$ de estos mapas, a continuación, corresponden a la creación de un "degenerado" $n$ simplex por "doblar" en el vértice $i$ a través de la creación de un "bucle". (Tenga en cuenta que estos mapas son lo que distinguen a simplicial conjuntos de delta conjuntos, en los que degeneran simplices y los mapas no existen.) Por lo tanto el $i$th y $i+1$st caras de la $i$th la degeneración de un simplex $S$ $S$ sí. Llamamos a los morfismos en $\Delta$ codegeneracy mapas de $s^i$, y su imagen morfismos bajo el functor degeneración mapas de $s_i$, en analogía con la cara/coface nomenclatura.
Para la degeneración de los mapas, entonces, vemos que el $s_is_j=s_{j+1}s_i$ es combinatoria evidente en mucho la misma manera que la cara de mapa de identidad, por lo que dualizing, obtenemos $s^js^i=s^is^{j+1}$$i\le j$, el coface identidad - de nuevo funciona correctamente en $\Delta$. La "geométrica" de los significados de la cara/la degeneración de las identidades en términos de la eliminación/adición de vértices o aristas puede ser igual de trabajado, y dualized para dar el coface/codegeneracy identidades, que se puede comprobar son verdaderas en $\Delta$. Sería instructivo para hacerlo por sí mismo. Por tanto, hemos construido la categoría de $\textbf{sSet}$ de simplicial conjuntos.
El Yoneda la inclusión es sólo un functor de una categoría en su categoría de presheaves con algunas buenas propiedades, por lo que puede ser escrito $h:\Delta\to \textbf{sSet}$. La imagen de $h[n]$ es, entonces, el representable presheaf $\text{hom}_{\Delta}(-,[n])$, lo que llamamos el estándar $n$-simplex. El Yoneda lema nos dice que el $n$-simplices de un conjunto simplicial $X$ están en bijection con $\text{hom}(h[n],X)=\text{hom}(\text{hom}_{\Delta}(-,[n]),X)$, y que este bijection es natural en tanto $X$$[n]$. En particular, el bijection identifica los morfismos de $h[n]$ (que constan de una sola no-degenerada $n$-simplex) en $X$ tomando su simplex simplex para $S\in X[n]$, con exactamente que simplex $S[n]$.
Admito que no entiendo muy bien la degeneración mapa de cosas en un nivel más profundo que "esto hace que la rotundidad en la formulación y/o mucho mejor," a pesar de tener una buena formulación categórica es, creo que el punto de todo esto es la motivación para que, básicamente, todas las aplicaciones de simplicial establece, en muy abstracto, configuración, como la clasificación de los espacios para las categorías y superior homotopy teoría.
Vamos Δ ser la categoría de finito de números ordinales con el fin de la preservación de los mapas, es decir, Δ se compone de objetos de cadenas
Una de morfismos f:n→[m] es una orden-la preservación de la función (un functor) y podemos pensar de los morfismos como diagramas donde las flechas no de la cruz.
