Una desigualdad con exponenciales

Question

Estoy tratando de mostrar que, para $t$ $(0, T]$ algunos $T > 0$ $t |y| \leqslant C$ algunos $C > 0$ que

$$\tag{1} |x|^M \exp \left (-\frac{D}{1 - \rm e^{-2 t^2}} {|e^{-t^2} x - y|^2}{} \right )$$ es uniformemente acotada en $x, y$ ( $\mathbf R^d$ ) y $t$. El implícita constante puede depender de $D > 0$ y enteros $M$. También es posible elegir $D > 0$ siempre que no depende de ninguna de las cantidades.

Bien! Así que dejemos de $z = t y$$|z| \leqslant C$. A la derecha. Así que podemos reescribir $(1)$ $$\tag{2} |x|^M \exp \left (-\frac{D}{t (1 - \rm e^{-2 t^2})} {|e^{-t^2} t x - z|^2}{} \right ).$$

Podríamos también tenga en cuenta que sólo podemos considerar los números reales $x$ $y$ y después de tomar los productos. Que podría simplificar el análisis un poco. Así que "deducir" de $(2)$ que debemos encontrar un enlace para (abusando $M$ un poco) $$\tag{3} x^{2M} \exp \left (-\frac{D}{t (1 - \rm e^{-2 t^2})} {(e^{-t^2} t x - z)^2}{} \right ).$$

Esto es donde la miseria se inicia. He comenzado la expansión de la plaza y, a continuación, casos de uso, pero luego las cosas se inicia dependiendo el uno del otro. Feo.

¿Alguien tiene alguna idea? Una sugerencia, tal vez?

Answer 1

Para $t\in(0,T\;]$, $$ \frac{D}{1-e^{-2t^2}}\ge\frac{D}{1-e^{-2T^2}}\etiqueta{1} $$ Si $|x|\ge2(C/t)e^{T^2}$,$e^{-t^2}|x|>2|y|$, y por lo tanto, $$ \left|e^{-t^2}x-y\right|^2\ge\frac{1}{2}e^{-t^2}|x|\ge\frac{1}{2}e^{-T^2}|x|\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $$ \frac{D}{1-e^{-2t^2}}\left|e^{-t^2}x-y\right|^2\ge\left(\frac{D/2\;\;e^{-T^2}}{1-e^{-2T^2}}\right)|x|\tag{3} $$ Así que $$ |x|^M\exp\left(-\frac{D}{1-e^{-2t^2}}\left|e^{-t^2}x-y\right|^2\right)\le|x|^M\exp\left(-\left(\frac{D/2\;\;e^{-T^2}}{1-e^{-2T^2}}\right)|x|\right)\tag{4} $$ que es obviamente limitada.

Sin embargo, vamos a $y=e^{-t^2}x$$t=C/|x|$. Entonces, para $|x|>C/T$, tenemos $t|y|<C$, $t<T$, y $$ |x|^M\exp\left(-\frac{D}{1-e^{-2t^2}}\left|e^{-t^2}x-y\right|^2\right)=|x|^M\etiqueta{5} $$ que puede ser arbitrariamente grande.