$\frac{1}{\infty}$ - es esta la igualdad de $0$?

Question

He visto que wolfram alpha dice:

$$\frac{1}{\infty} = 0$$

Well, I'm sure that:

$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x} = 0$$

But does $\frac{1}{\infty}$ only makes sense when we calculate it's limit? Because for me, $1$ dividido por cualquier gran cantidad de número será siempre almost cero.

Answer 1

Que la notación se utiliza como una abreviatura de "As $x$ enfoques infinito, el denominador golpes sin límite, y por ello, dado que el numerador es constante, el valor de la función de los enfoques de cero (es decir, recibe arbitrariamente cercano a cero), y, por tanto, su límite es cero."

$\dfrac 1\infty$ NO significa literalmente "divide $1$$\infty$!

Por lo que, literalmente, es una tontería; tomado como fórmula para el de arriba, verás que la notación se usa más comúnmente en las que la gente evalúe los límites. Es lo que llamamos "un abuso de notación."

Answer 2

Supongamos que queremos dividir $1$ pastel entre un $\infty$ de tus amigos. Cada amigo obtendrá $\frac{1}{\infty}$ de la tarta o, como usted dice $0$. Después de dar la tarta, que repensar cuestiones y decir a sus amigos a darle a la tarta de nuevo a usted. Cada amigo te dará su porción de la tarta que es un $0$. Así que al final termina con $0$ pasteles. Donde tiene el pastel ido?

Un lugar interesante argumento en contra de la $0\cdot\infty =1$ me ocurrió. Supongamos $0\cdot\infty =1$ mantiene. A continuación,$1 = \infty \cdot 0 = \infty \cdot (0 \cdot 0) = (\infty \cdot 0) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$. Extraño, ¿no?

Answer 3

Sí y no. Pensar en las consecuencias. Es $0\cdot\infty=1$ ? Porque normalmente, si $\displaystyle\frac ab=c$,$a=bc$, Pero este no es el caso aquí, ¿no ? Porque, desde todos los límites de la forma$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac kn}$$0$, para todos los finita de números k, entonces el producto de a $0\cdot\infty$ se vuelve sin sentido. A veces incluso puede ser infinito en sí, ya que $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac n{n^2}=0}$, por ejemplo. Así que lo mejor es evitar el uso de expresiones tales, especialmente si usted es un principiante. De lo contrario, pronto te preguntas como por qué se $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e$ en lugar de $1$, ya que, por todas las apariencias, $\frac1\infty=0$, e $\displaystyle\lim_{n\to\infty}1^n=1$.