Cómo son las definiciones de un estado coherente equivalente?

Question

Estoy tratando de entender coherente de los estados. Según lo que pude encontrar, hay tres definiciones equivalentes y, en general, de muchas fuentes comienzo de uno diferente, todavía no puedo ver su equivalencia. Insisto en que las definiciones y sus equivalencias dadas en la página de la Wikipedia:

1. Eigenstate de la aniquilación del operador: $$a|\alpha \rangle =\alpha|\alpha \rangle$$
2. El desplazamiento del operador de la aspiradora: $$ |\alpha \rangle =e^{\alpha a^{\dagger}-\alpha^{*} a}|0 \rangle $$
3. Estado de Incertidumbre mínima: $$ \Delta X= \Delta P = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

No puedo ver cómo son el mismo! Por favor alguien puede explicar cómo deducir estos el uno del otro?

Answer 1

Consulte el buen complemento en la coherencia de los estados en el libro de Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë, volumen 1. Comienza la definición coherente de los estados como ninguno de los que mencionas, y, a continuación, se deriva de todas las propiedades.

Para responder a la pregunta, si usted comienza con la definición 2, se puede mostrar fácilmente 1 y, a continuación, a partir de 2, 3. Primero expandir la exponencial el uso de Baker-Campbell-Hausdorff fórmula: $$ e^{\alpha^\daga -\alpha^*}=e^{\alpha^\daga}e^{-\alpha^*} e^{\frac{-1}{2}|\alpha|^2 [^\daga,-a]} $$ y vamos a actuar en el vacío del estado de $|0\rangle$ para obtener $$ |\alpha \rangle = e^{-|\alpha|^2/2}e^{\alpha^\daga}e^{-\alpha^*}|0\rangle \\ = e^{-|\alpha|^2/2}e^{\alpha^\daga}|0\rangle \\ = e^{-|\alpha|^2/2} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle $$ Ahora que se tiene la expresión para $|\alpha \rangle$ en términos de los estados que ya sabes, puedes operar $a$ para encontrar que es de hecho una eigenstate de la reducción de operador, mostrando que la definición 2, implica la definición de 1.

Propiedad 3 de la siguiente manera desde la búsqueda de $\langle X^2 \rangle$ $\langle P^2 \rangle$ para este estado, expresando los operadores en términos de$a$$a^\dagger$, bastante ejercicio estándar.