Recientemente he estado aprendiendo algo de geometría hiperbólica y el profesor mencionó brevemente la geometría esférica. Desde un punto de vista moderno e ingenuo, parece bastante fácil demostrar que la geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.
Evidentemente, esto no es cierto, ya que se tardó más de 1000 años en hacerlo. ¿La aparente diferencia de dificultad se debe a mi punto de vista moderno o hubo dificultades técnicas como con la geometría hiperbólica?
La clave moderna es la distinción entre axiomas y modelos, es decir, entre sintaxis y semántica. Antes se pensaba que los axiomas euclidianos caracterizaban una única espacio sea lo que sea. La idea de que la verdad de una proposición puede ser relativa a un modelo es una idea revolucionaria que hoy damos por sentada.
Para un geómetra antiguo (o uno del siglo XVIII), la geometría esférica parecería violar el segundo postulado de Euclides, que dice que cualquier línea recta finita puede prolongarse indefinidamente. También es un problema que dos grandes arcos se crucen en dos puntos, en lugar de uno, que sería el natural para las líneas rectas. Así, parece que la geometría esférica difiere de la euclidiana en algo más que en la validez del postulado de las paralelas.
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