Terminal de objeto implica la proyección es un isomorfismo

Question

Deje $A$ ser un terminal de objetos en una categoría $\mathcal{C}$. Demostrar que para cualquier objeto $X$ la proyección de $p: X \prod A \rightarrow X$ es un isomorfismo.

Así utilizando la característica universal del producto que podemos encontrar un mapa g: $X \rightarrow X \prod A$ tal que $pg$ es la identidad en $X$. Sin embargo no veo por qué no $gp$ es la identidad. Puede usted por favor ayuda?

Answer 1

Tenemos $gp : X \times A \to X \times A$$pgp = p : X \times A \to X$.

Aplicar la universalidad del producto diagrama una vez más.

Answer 2

He aquí otro enfoque con un sabor diferente que le da un poco más fuerte resultado:

Deje $\varphi\colon X\to A$ ser el único de morfismos de$X$$A$.

Voy a demostrar que $X$, junto con los morfismos $\mathrm{id}_X$$\varphi$, satisfacer el universal la propiedad del producto de $X$$A$, lo $X$ $A$ debe tener un producto, y el producto debe ser isomorfo a $X$.

Deje $Z$ ser cualquier objeto, y deje $f\colon Z\to X$$g\colon Z\to A$. Entonces, ciertamente, $\mathrm{id}_Xf=f$ por la definición de la identidad y $\varphi f=g$ porque $A$ es terminal. Además, $f$ es único en este sentido: trivialmente, $\mathrm{id}_X f'=f\implies f'=f$.

Answer 3

Deje $q: X\prod A \to A$ ser la otra proyección. A continuación,$pgp=p$$qgp=q$, donde la segunda igualdad se mantiene debido a $A$ es terminal. No utilice la singularidad parte de la universal de los bienes.