Pregunta básica $|x^2| < 9$

Question

Tengo una pregunta bastante básica.

Supongamos que $|x^2| < 9$ donde $x\in \mathbb{R}$ . Entonces todo el mundo sabe que $x \in$ (-3,3). Sin embargo, tengo problemas para llegar a la respuesta basándome en operaciones básicas.

$$|x^2| < 9$$

$$ -9 < x^2 < 9$$

Desde $x^2$ no puede ser negativo:

$$ 0 \leq x^2 < 9$$

$ 0 \leq x < 3$ cuando x es positivo o cero, O $-3 < x \leq 0$ cuando x es negativo o cero.

Significa $-3 < x < 3$ .

¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Lo que has hecho es correcto, pero aquí tienes otra forma de solucionarlo:

(1) $$|x^2| = x^2$$

(2) Si $$x^2 < A^2$$ (por supuesto, en el supuesto de que $A > 0$ ), entonces $$x^2 - A = (x + A)(x - A) < 0.$$ De ello se deduce que $$\left(x + A > 0\right) \land \left(x - A < 0\right),$$ o $$\left(x + A < 0\right) \land \left(x - A > 0\right).$$ Desde $A^2 > x^2 \geq 0$ , $x + A < 0$ es falso. En consecuencia, $$\left(x > -A\right) \land \left(x < A\right)$$ que puede abreviarse como $$-A < x < A.$$