He oído que forzar con el conjunto de funciones contables $\omega_1\to\omega_1$ hace $\diamondsuit$ verdadero en la extensión $M[G]$ , si $CH$ es verdadero en un ctm $M$ . ¿Puede alguien indicarme un (lugar con una) prueba de esto, o darme una pista sobre cómo probarlo yo mismo? Gracias.
Respuesta
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Con la pista (y otra), estoy intentando una prueba detallada:
Dejemos que $(B_{\alpha})_{\alpha < \omega_1}$ enumerar los subconjuntos acotados de $\omega_1$ . Estos (y $\omega_1$ mismo) son absolutos entre $M$ y $M[G]$ por $\omega_1$ -de la forzadura y hay $\omega_1$ muchos de ellos por $CH$ en $M$ .
Con $f=\bigcup G$ , dejemos que $A_{\alpha}=B_{f(\alpha)}\cap \alpha$ para $\alpha <\omega_1$ . Afirmar que se trata de una secuencia de diamantes en $M[G]$ .
Dado $X\subseteq \omega_1$ , $X\in M[G]$ y un club $C\subseteq \omega_1$ Hay que demostrar que hay $\alpha\in C$ con $X\cap \alpha = A_{\alpha}$ . Elija los nombres $\dot X, \dot C \in M$ . Dejemos que $q\in G$ con $q\Vdash \dot X \subseteq \omega_1\land \dot C \text{ is club in } \omega_1.$ Para demostrar la afirmación, demuestre que el conjunto de condiciones $r\leq q$ para el que se ha creado un $\alpha<\omega_1$ existe para que $dom(r)=\alpha+1$ y $r$ fuerzas $\dot X\cap \check \alpha$ para igualar $\check B_{r(\alpha)}\cap \check \alpha$ y también obliga a $\check \alpha\in \dot C$ , es denso por debajo de $q$ . Entonces también hay un $r$ en $G$ , que prueban la afirmación.
Dejemos que $q'\leq q$ se dé de forma arbitraria. Elija $\beta_0 <\omega_1$ con $dom(q')\subseteq \beta_0$ y $q_0\leq q'$ con $dom(q_0)=\beta_0$ y construye un ascendente $\omega$ -secuencia de ordinales $\beta_n<\omega_1$ empezando por $\beta_0$ junto con una secuencia descendente $q_n$ empezando por $q_0$ así:
Dado $(\beta_n,q_n)$ , elija un genérico $G_n\ni q_n$ y $dom(q_n) < \beta_{n+1} <\omega_1$ con $\beta_{n+1}\in \dot C^{G_n}$ . Dejemos que $T_n=\dot X^{G_n} \cap \beta_{n+1}\in M$ . Dejemos que $q_{n+1}\in G_n$ con $q_{n+1}\leq q_n$ para que $q_{n+1}\Vdash (\dot X \cap \check \beta_{n+1} = \check T_n) \land (\check \beta_{n+1}\in \dot C)$ y también $dom(q_{n+1})$ es un ordinal $\geq \beta_{n+1}$ .
Dejemos que $\alpha$ sea el límite de la $\beta_n$ y $p$ la unión de los $q_n$ . $dom(p)=\alpha$ y mirando un genérico $G'\ni p$ muestra que $p\Vdash \dot X\cap \check \alpha = \bigcup_n \check T_n\land \alpha\in \dot C$ . Definir $r\leq p$ con $dom(r)=\alpha+1$ por $r(\alpha)=\gamma$ donde $B_{\gamma} = \bigcup_n T_n$ .
