Búsqueda de $\lim_{x\to \pm\infty}f(x)$ donde $a,b>0$

Question

He encontrado este problema interesante para estar aquí:

Si $a,b>0$ a continuación, encontrará el siguiente límite: $$\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^x$$

Gracias!

Answer 1

Uno puede usar la Regla de L'Hospital de mecánica. El logaritmo de nuestra expresión es $$\frac{\log\left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)}{1/x}.$$ Diferenciar la parte superior e inferior. Tenemos $$\frac{1}{\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}}(-1/x^2)\frac{\frac{a^{1/x}\log a+b^{1/x}\log b}{2}}{(-1/x^2)}$$ Cancelar la $(-1/x^2)$. El límite es de $\dfrac{\log a+\log b}{2}$. Luego exponentiate.