Demostrando que una declaración es absoluta.

Question

Después de leer acerca de las diversas propiedades de $V_\alpha$ y cómo puede ser utilizado para modelar diversos axiomas de la Teoría de conjuntos, Kunen menciona que en $ZFC$, no se puede demostrar que hay un $\alpha$ tal que $V_\alpha \models ZFC$ (asumiendo $ZFC$ es consistente.) He visto las pruebas antes de que mostrar por qué ciertos axiomas fallar bajo ciertas $V_\alpha$'s, pero yo estaba intrigado por la fuerza de esta declaración.

El teorema de la Incompletitud es, a continuación, se mencionan a demostrar por qué esto es cierto por contratiction. Asumiendo $ZFC \vdash \exists \alpha \thinspace[V_\alpha \models ZFC]$. A continuación, $ZFC \vdash \mbox{Con}(ZFC)$, contradiciendo el Segundo Teorema de la Incompletitud.

Me sorprendió ver el ejemplo de un "mejor" es la contradicción. Asumiendo $ZFC \vdash \exists \alpha \thinspace[V_\alpha \models ZFC]$, vamos a $\beta$ menos que $V_\beta \models ZFC$. Pero entonces, por nuestro assuption, $V_\beta \models \exists \alpha[V_\alpha \models ZFC]$. Tal $\alpha \in V_\beta$ debe ser menor que $\beta$, lo que contradice $\beta$ menos.

Sin embargo, para terminar el "mejor" de la contradicción, debe verificarse que la declaración "$V_\alpha \models ZFC$" es absoluta. ¿Cómo se podría ir sobre la que demuestra que esta afirmación es absoluta? Cualquier ayuda/sugerencias sería muy apreciada.

Answer 1

Asumiendo $\mathsf{ZFC} \vdash \exists \alpha\,(V_\alpha \models \mathsf{ZFC})$, vamos a $\beta$ ser el menos ordinal tal que $V_\beta \models \mathsf{ZFC}$ y deje $\alpha$ ser el único conjunto tal que el modelo de $V_\beta$ satsifies "$\alpha$ es el menor ordinal tal que $V_\alpha$ satisface $\mathsf{ZFC}$." Deje $X = V_\alpha^{V_\beta}$.

Esto es suficiente para mostrar que las siguientes afirmaciones, cierto en $V_\beta$, son de absoluta entre el$V_\beta$$V$.

1. $\alpha$ es un ordinal,

2. $X \models \mathsf{ZFC}$, y

3. $X = V_\alpha$.

Para 1 y 2 sólo necesitamos usar el hecho de que $V_\beta$ es un conjunto transitivo y que $\Delta_0$ fórmulas son absolutos para transitiva conjuntos. Para el 3, aunque la propiedad de ser un rango segmento inicial de $V$ no es absoluta para todos los conjuntos transitivos, uno puede demostrar que no es absoluta para clasificar los segmentos inicial de $V$. Una forma de hacerlo es demostrar por inducción sobre $\xi$ que $(V_\xi)^{V_\beta} = V_\xi$ para todos los ordinales $\xi < \beta$.