¿Es el conjunto de polinomios de grado menor o igual a $n$ cerrado?

Question

Esta pregunta es en relación con el espacio $C(I)$, $I = [a, b]$. Definir $P_n =\{ a_0+\dots+a_nx^n \mid a_i \in \mathbb{R}\}$ (cualquier o todos los $a_i$ podría ser cero); claramente $P_n \subset C(I)$. La norma que estoy usando es $\lVert f\rVert_I = \sup_I |f(x)|$. Es $P_n$ cerrado bajo $\lVert\cdot\rVert_I$?

Estoy casi seguro que la respuesta es "sí", pero me parece que no puede demostrarlo. Mi primer instinto fue biject $P_n$$\mathbb{R}^{n+1}$, utilizando coeficientes como coordenadas, y demostrar que las secuencias de grado-$n$ polinomios convergen a grado-$n$ polinomios, pero no puedo demostrar que la métrica $\lVert\cdot\rVert_I$ es equivalente a la norma métrica en $\mathbb{R}^{n+1}$. Siguiente, intuitivamente dada una función de $f \in C(I), \notin P_n$ I debe ser capaz de encontrar algunos $\epsilon > 0$ tal de que no hay de bajo grado de los polinomios de "cerca", luego de que la función no era un punto límite de $P_n$ $P_n$ es cerrado. De nuevo no tengo idea de cómo probar esto. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

En general, cualquier finito dimensionales subespacio de un espacio vectorial topológico es cerrado. Sin embargo, en este caso uno puede usar las propiedades de los polinomios de mostrar de manera directa.

Elegir distintos puntos de $x_0,...,x_n \in I$. Deje $V$ $(n+1)\times (n+1)$ matriz de Vandermonde $V=\pmatrix{1 &x_0 & \cdots & x_0^n\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\1 &x_n & \cdots & x_n^n }$. Un tedioso cálculo muestra que $\det V \neq 0$ fib el $x_k$ son distintos. Si $p$ es un polinomio de la forma $p(x) = a_0+a_1x+...+a_nx^n$, entonces podemos ver que (tomando los coeficientes como un elemento $a \in \mathbb{R}^{n+1}$) $\pmatrix{p(x_0) \\ \vdots \\ p(x_n)} = V a$, o, equivalentemente,$a = V^{-1} \pmatrix{p(x_0) \\ \vdots \\ p(x_n)}$.

Ahora definir el operador $N: C(I) \to C(I)$ como sigue: vaya a $f \in C(I)$, y definir $a(f) = V^{-1} \pmatrix{f(x_0) \\ \vdots \\ f(x_n)}$, y deje $N(f)(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n [a(f)]_k x^k$. Tomando nota de que pointwise evaluación es continua con respecto a la $\sup$ norma, podemos ver que $N$ es continua, y por otra parte, $N(f) = 0$ fib $f$ es un polinomio de grado $n$ o menos. Por lo tanto $P_n = N^{-1}\{0\}$, la imagen inversa de un conjunto cerrado, por lo tanto $P_n$ es cerrado.

Answer 2

Basta para mostrar que cualquier secuencia $(p_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset P_n$ que converge con respecto a los $\|\cdot\|_I$ converge a un polinomio $p(x)\in P_n$. Por lo tanto, que $(p_k)$ ser una secuencia; cada $k$,

$$p_k(x)=a_0^{(k)}+a_1^{(k)}x+\ldots+a_n^{(k)}x^n$$

Reclamo: $p_k(x)$ converge (con respecto a su norma) % polinomio $p(x)=a_0+\ldots+a_nx^n$donde

$$a_i=\lim_{k\rightarrow\infty}a_i^{(k)}$$

Te dejo que limpie hacia fuera los detalles.