¿Es $\operatorname{Out}(F_{\infty})$ residualmente finito?

Question

Es bien sabido que si $F_n$ es el grupo libre sobre generadores de $n\in \mathbb{N}$ y $\operatorname{Out}(F_n)$ es residualmente finitos. Sin embargo, parece que no puedo encontrar una referencia de lo que sucede cuando tenemos $F_\infty$. Por lo tanto,

¿Es $\operatorname{Out}(F_\infty)$ residualmente finito?

Answer 1

Conjunto teórico descargo de responsabilidad: esta respuesta supone que $F_\infty$ es el grupo en un countably conjunto infinito de los generadores. Bajo una leve principio de elección, cada conjunto infinito contiene un countably conjunto infinito, así que en ese contexto este argumento funciona para cualquier infinita de generación del sistema. Quién sabe qué sucede si, por ejemplo, el conjunto de generadores de un infinito, Dedekind conjunto finito, pero sin duda este tipo de investigaciones son en el mejor de los tangencial a la intención de la pregunta.

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Consideramos que el grupo libre $F_\infty$ con conexión electrógenos $S = \{s_0, s_1, \ldots\}$. Su exterior automorphism grupo $\operatorname{Out}(F_\infty)$ no es residual finito, y de hecho contiene un infinito simple grupo. Para un autónomo respuesta, es más fácil proceder en dos pasos.

En primer lugar, integramos el grupo simétrico de los números naturales (que se denota por a $S_\infty$) a $\operatorname{Out}(F_\infty)$. Con cada permutación $\sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ asociamos el único automorphism $T_\sigma$ $F_\infty$ ampliar el mapa de $s_i \mapsto s_{\sigma(i)}$ (explícitamente, $T_\sigma: s_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots s_{i_n}^{\epsilon_n} \mapsto s_{\sigma(i_0)}^{\epsilon_0} \cdots s_{\sigma(i_n)}^{\epsilon_n}$). Este mapa es, evidentemente, una incrustación de $S_\infty$ a $\operatorname{Aut}(F_\infty)$, por lo que basta que se compruebe que ese $T_\sigma$ es exterior para cada nonidentity $\sigma$. Pero si $w \in F_\infty$ no es la identidad y $s \in S$ es un generador no ocurre en (la reducción) $w$, $w^{-1} s w$ no $S$, y, en particular, no es igual a $T_\sigma(s)$. Por lo $\operatorname{Out}(F_\infty)$ contiene una copia de $S_\infty$.

A continuación, nos muestran una infinita simple subgrupo de $S_\infty$. En analogía con lo finito configuración, definir la alternancia de grupo $A\subset F_\infty$ a consistir de los productos de un número par de transposiciones (en particular, cada elemento de a $A$ ha finito de apoyo). Uno puede establecer la simplicidad de $A$ directamente, imitando uno de los favoritos del argumento de la simplicidad de $A_n$ para suficientemente grande $n$. Alternativamente, la sencillez de un gran $A_n$ abstracta implica que de $A$ considerando la canónica copia de $A_n$ como el conjunto de las permutaciones en $A$ con el apoyo contenida en $\{0, \ldots, n-1\}$. Entonces cualquier trivial normal subgrupo $G \unlhd A$ contendría una nonidentity elemento de algunos $A_n$, por lo tanto por la sencillez $G \supseteq A_n$ para suficientemente grande $n$. Pero eso implica que $G \supseteq A$, ya que el $A = \bigcup_n A_n$ (y los de la unión es cada vez mayor). Por lo $A$ es simple en $S_\infty$, y finalmente podemos darnos cuenta como una infinita simple subgrupo de $F_\infty$ como queríamos.