Imagen de la esfera de la unidad está a prueba de hyper elipse (SVD)

Question

Cuando me registre para la prueba de la descomposición de valor singular, todos ellos asumirá las siguientes es verdadera:

La imagen de la unidad de la esfera en virtud de cualquier $m * n$ matriz es un hyper elipse.

Sin embargo, no pude encontrar una buena prueba de ello, aunque he buscado en google durante horas. Sigo viendo las notas como: "Este geométrica no es un hecho obvio. Vamos a repetir en el idioma del álgebra lineal y probar más tarde. Por el momento, supongamos que es cierto."

Tal vez estoy mal uso de las palabras clave. Podría usted por favor me dan un link, libro de texto nombre, etc. (una referencia) para esta prueba?

Answer 1

Supongamos $T$ es lineal y mapa en un número finito de dimensiones interiores espacio del producto $V$. La Descomposición Polar afirma que existe una isometría $S$ $V$ tal que $$ T = S \sqrt{T^* T}. $$ Debido a $\sqrt{T^*T}$ es positivo operador, de lo Finito-Dimensional Espectral Teorema afirma que hay una base ortonormales $e_1, \dots, e_n$ $V$ y no negativos números de $s_1, \dots, s_n$ tal que $$ \sqrt{T^*T}e_j = s_j e_j $$ para $j = 1, \dots n$. Por lo tanto $\sqrt{T^*T}$ mapas de la unidad de la esfera de $V$ a un host de hyper-elipse, y debido a $S$ es una isometría, $T$ también los mapas de la unidad de la esfera de $V$ a un host de hyper-elipse.

La Descomposición de Valor Singular de la siguiente manera fácilmente a partir de la Descomposición Polar sin mencionar hyper-puntos suspensivos (véase, por ejemplo, en el Capítulo 7 de mi libro de Álgebra Lineal Hecho a la Derecha).