¿Por qué A005179 (número más pequeño con factores N) tienen puntos en los primeros números de factores?

Question

A005179 es una lista del número más bajo con números factores, para cada n. La lista tiene máximos locales bastante extremas cuando n es primo. ¿Por qué?

 n lowest number with n factors
 1 1
 2 2
 3 4
 4 6
 5 16
 6 12
 7 64
 8 24
 9 36
10 48
11 1024
12 60
13 4096
14 192
15 144
16 120
17 65536
18 180
19 262144
20 240

Answer 1

Hay un buen teorema que es directamente aplicable:

Si $m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$ cuando la $p_i$s son distintos de los números primos, entonces el número de factores de $m$ $$(a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)$ $

En el anterior, cada una de las $a_i+1$ término representa la elección de que el poder de $p_i$ es utilizado en el factor.

Ahora, vamos a $m$ $q$- ésimo término de la A005179 secuencia donde $q$ es primo, y deje $m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$. Del teorema, tenemos $$q=(a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)$$ Sin embargo, desde la $q$ es el primer solo se pueden escribir como un producto de $1$ y en sí mismo - de ahí que para algunos $i$ tenemos $a_i+1=q$ mientras que para $j\ne i$ tenemos $a_j+1=1$. Esto significa que el $q$-ésimo término de la secuencia es sólo $m=p_i^{q-1}$ para algunos prime $p_i$, y desde $2$ es el más pequeño de prime, el $q$-ésimo término es $2^{q-1}$.

Se trata de un extremo de la espiga, porque (en la suelta de términos) el $n$-ésimo término en el $n$ está compuesto puede ser escrito con menos de potencias de números primos. Por ejemplo, el $10$-ésima es $48=2^4\cdot3$ que sólo requieren $5$ potencias de números primos, mientras que el $11$-ésima es $1024=2^{10}$, requiriendo $10$ competencias de un primo. En particular, el $(q-1)$-ésima es $\le 2^{(q-3)/2}\cdot3$ e las $(q+1)$-ésima es $\le 2^{(q-1)/2}\cdot3$ (donde $q$ es una extraña prime).