Axiomas de atomless boleanas

Question

Me da vergüenza preguntar, pero: "Escribir un conjunto de axiomas para la teoría de la atomless álgebras Booleanas."

Este es el Ejercicio 1.14 en el Capítulo 9 de "Modelos y Ultraproducts" por Bell y Slomson. Estoy tratando de leer esto por mi cuenta. Yo no tengo ninguna de matemáticas de la comunidad, excepto una.

Claramente necesitamos los axiomas para álgebras Booleanas y, a continuación, al menos uno más. Un adicional podría decir algo como: Para cualquier elemento no nulo x, existe un elemento no nulo y tal que 0 < y < x.

Pero no sé si eso es en cualquier lugar cerca de corregir. Mi mayor problema es que incluso si lo fuera, yo no sé cómo demostrar que tenía un sistema de axiomas para atomless álgebras Booleanas. Gracias por la ayuda.

"Despistado en Tucson"

Answer 1

Si queremos axiomatize boleanas en cuanto a orden parcial, queremos especificar que el orden es denso en el sentido habitual. Así que un axioma adicional posible es %#% $ #%

Pero esto se puede derivar el aparentemente más débil axioma $$\forall x \forall y(x<y\implies \exists z(x \lt z \land z \lt y)).$ $ que usted sugiere. Por lo tanto su axiomatización es perfectamente correcta y completa (juego de palabras).

Answer 2

Un átomo es un mínimo elemento distinto de cero. Su axioma dice que no existe ningún tal elemento mínimo. Cualquier modelo que satisfaga los axiomas es claramente una álgebra boleana. ¿Podría tener un modelo que satisface el axioma un mínimo elemento distinto de cero? Trataría de una prueba por contradicción.