Calcular la suma de las raíces

Question

Considere el polinomio $P(x) = (x^2 + x + 1)^{2015} + x + 1$ con el % de raíces $x_k, \: 1 \le k \le 4030$.

Evaluar

$$\sum _{k = 1}^{4030} \frac{1}{x_k}$$

He encontrado que $P(i) = 1$ y el resto de $P / (x^2 + 1)$ también es $1$.

Creo que la suma debe ser %#% $ #% donde $$\frac{-a_1}{a_0}$ es el coeficiente de $a_0$, que es $x^{0}$, pero no sé cómo encontrar el coeficiente de otros (el de $2$)

Answer 1

La forma más fácil de encontrar $a_1$, el coeficiente de $x$ es utilizar diferenciación. Tenemos $$P'(x) = 2015(x^2+x+1)^{2014}(2x+1) + 1$$ and putting $x=0$, we get $P'(0) = a_1 = $ 2016

Uno también puede expandir como sigue: $P(x) = ((x^2+1)+x)^{2015} + x+1$ de la escritura y ampliar el primer término utilizando el teorema del binomio, el único término que contiene $x$ en la expansión es $\binom{2015}{2014} x (x^2+1)^{2014}$ y por lo tanto, el coeficiente es $2015+1=2016$