Las ecuaciones quiero resolver este aspecto: $$ X^n = 6 I $$ donde $I$ es la matriz identidad, $n$ $1,2,3,..."$ y el cuadrado de la matriz de $$ X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots \\ x_{21} & x_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} $$ con la $x_{ij} \in \Bbb Z$. Si las entradas de la matriz $X$ se les permite estar reales, el problema sería fácil de resolver. La solución sería $$ X=\begin{pmatrix} \sqrt[n]{6} & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt[n]{6} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} $$ Sin embargo, para $x_{ij}$ se entero de la solución parece ser mucho más difícil. Con adivinanzas y algo de ayuda de la computadora que yo era capaz de encontrar soluciones para $n=2$ $$ X=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ y para $n=3$ $$ X=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix} $$ Me di cuenta de que no parece ser posible encontrar una matriz de dos dimensiones $X$ a resolver la ecuación de $X^3 = 6 I$. Podría ser una regla general, que si usted está buscando para el $n$th raíz de una matriz cuadrada con el entero de los componentes, la solución de la matriz debe tener $n$ dimensiones?
Y me gustaría saber si hay un método mejor que simplemente adivinando para resolver este tipo no lineal de ecuaciones de matrices sobre los números enteros?
