Ninguna otra suposición es necesaria si queremos entender la definición de la integral de la transformada de Laplace como una indebida. De hecho, la siguiente proposición tiene.
La proposición. Suponga $f$ es localmente integrable en $(0, \infty)$ y la integral impropia
$$\int_{0}^{\infty} f(x) \; dx := \lim_{p\to\infty} \int_{0}^{p} f(x) \; dx$$
existe. Entonces su transformada de Laplace
$$ A_{s} = \mathcal{L}f(s) := \int_{0}^{\infty} f(x)\,e^{-sx} \; dx = \lim_{p\to\infty} \int_{0}^{p} f(x)\,e^{-sx} \; dx $$
existe para $s \geq 0$ y
$$\lim_{s\downarrow 0}A_{s} = A_{0} = \int_{0}^{\infty} f(x) \; dx.$$
Para la prueba, vamos a $h(x) = \int_{0}^{x} f(t) \; dt$. A continuación, $h(x)$ es absolutamente integrable, y está delimitado desde el límite de $h(\infty) := \lim_{p\to\infty} h(p)$ existe. Por integración por partes, tenemos
$$ \begin{align*}
\int_{0}^{p} f(x)\,e^{-sx}\;dx
&= \left[h(x)\,e^{-sx}\right]_{0}^{p} + s \int_{0}^{p} h(x) \, e^{-sx} \; dx \\
&= h(p)\,e^{-sp} + s \int_{0}^{p} h(x) \, e^{-sx} \; dx.
\end{align*} $$
Aquí, tenga en cuenta que
$$ |h(x) \, e^{-sx}| \leq \| h \|_{L^{\infty}} e^{-sx}. $$
Así por Lebesgue del teorema de convergencia dominada, tenemos
$$\lim_{p\to\infty} \int_{0}^{p} f(x)\,e^{-sx}\;dx = s \int_{0}^{\infty} h(x) \, e^{-sx} \; dx. $$
Esto demuestra la existencia de $A_{s}$. Para demostrar que $A_{s} \to A_{0}$$s \downarrow 0$, podemos observar que
$$ F(0) = h(\infty) = s \int_{0}^{\infty} h(\infty) \, e^{-sx} \; dx. $$
Así tenemos
$$ \begin{align*}
|A_{s} - A_{0}|
&\leq s \int_{0}^{\infty} |h(x) - h(\infty)| \, e^{-sx} \; dx \\
&= \int_{0}^{\infty} |h(u/s) - h(\infty)| \, e^{-u} \; du. \qquad(u = sx) \end{align*}$$
Desde esta integrando está delimitado por la que domina la función $2\|h\|_{L^{\infty}} \,e^{-u}$, podemos aplicar Lebesgue del teorema de convergencia dominada de nuevo, produciendo
$$\lim_{s\downarrow 0} |A_{s} - A_{0}| \leq \int_{0}^{\infty} \lim_{s\downarrow 0} |h(u/s) - h(\infty)| \, e^{-u} \; du = 0.$$
Por lo tanto, $A_{s} \to A_{0}$ como se desee.
Por supuesto, en el libro de referencia de la transformada de Laplace se define como una integral de Lebesgue sentido. Incluso en este caso, sólo un leve auxiliar condición, tales como
$$f(x) = O(e^{\epsilon x}) \quad \text{for all} \ \epsilon > 0$$
o
$$\int_{0}^{x} |f(t)| \; dt = O(e^{\epsilon x}) \quad \text{for all} \ \epsilon > 0$$
garantiza la proposición, ya que solo tenemos que mostrar que la integral impropia la definición de $A_{s}$, de hecho, converge en un sentido de Lebesgue. En realidad, al leer esta página, usted encontrará que el libro también requiere de algunas condiciones en $f$, de modo que $A_{\epsilon}$ está definido para todos los $\epsilon > 0$.
