Comparación de $2013!$ y $1007^{2013}$

Question

Tengo que comparar los dos números siguientes:

$$2013! \text{ and } 1007^{2013}$$

donde $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times (n-1) \times n$ .

Intenté de diferentes maneras agrupar los $1 \times 2 \times \cdots \times 2012 \times 2013$ para obtener algún tipo de asociación con el $1007$ de $1007^{2013}$ pero no hubo suerte.

¿Existe algún enfoque estándar para este tipo de problema?

Answer 1

$1\times 2\times\ldots\times 2012\times 2013$

$=(1007-1006)\times(1007-1005)\times\ldots\times (1007+1005)\times(1007+1006)$

$=(1007^2-1006^2)\times (1007^2-1005^2)\times\ldots\times (1007^2-1^2)\times 1007$

$<(1007^2)^{1006}\times 1007$

$=1007^{2013}$

Answer 2

Sólo tienes que tomar el desigualdad entre las medias aritmética y geométrica :

$$\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}\leq \frac{a_1+a_2\dots+a_n}{n}$$

con $a_i=i$ y $n=2013$ . Entonces $\sqrt[2013]{2013!} \leq 1007$ .

Answer 3

Utilice La aproximación de Stirling para el factorial:

$$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}e\right)^n\;,$$

así que $$2013!\approx 112.46356(740.54132)^{2013}<1007^{2013}\;.$$

Para un enfoque menos computacional, mira su ratio:

$$\begin{align*}\frac{2013!}{{1007}^{2013}}&=\frac{2013\cdot2012\cdot\ldots\cdot2\cdot1}{1007\cdot1007\cdot\ldots\cdot1007\cdot1007}\\\\ &=\underbrace{\frac{2013}{1007}\cdot\frac{2012}{1007}\cdot\frac{2011}{1007}\cdot\ldots\cdot\frac{1008}{1007}}_{1006\text{ factors}}\cdot\frac{1007}{1007}\cdot\underbrace{\frac{1006}{1007}\ldots\cdot\frac2{1007}\cdot\frac1{1007}}_{1006\text{ factors}}\;. \end{align*}$$

El $1006$ los factores de la izquierda están entre $1$ y $2$ los factores de la derecha están entre $1$ y $\frac1{1007}$ . Intenta emparejarlos.

Answer 4

Dejemos que $j \in \{1,2,\dots,2013\}$ .

Cuando $j$ es pequeño, $1007$ es mucho mayor en tamaño que $j$ . [Por ejemplo $1007 = 1007 \cdot 1$ Así que para los pequeños $j$ El $j$ -ésimo factor en $1007^{2013}$ es mucho mayor en tamaño que el $j$ -ésimo factor en $2013!$ .

Pero cuando $j$ es grande, $j$ no es mucho mayor que $1007$ . [Por ejemplo $2013 < 1007 \cdot 2$ Así que para los grandes $j$ El $j$ -ésimo factor en $2013!$ no es mucho más grande en tamaño que el $j$ -ésimo factor en $1007^{2013}$ .

¿Te ayuda esta línea de razonamiento a encontrar una respuesta a esta pregunta?

[Obsérvese también que $1007$ es la mediana (punto medio) de $\{1,2,\dots,2013\}$ .]

Answer 5

Una pista: Utilice la desigualdad $k(n-k)\le (n/2)^2$ . Entonces podrías demostrar la desigualdad más general (sin Stirling).