¿Cómo probar que el siguiente sistema de ecuaciones tiene sólo una solución?

Question

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Tengo que resolver este sistema de ecuaciones. Después de sustituir$y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2}$ en$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$, obtuve ese$(x + 2)^2 = 0$, así que$x = -2$, so$y = -\frac{3}{4} \cdot (-2) - \frac{13}{2} = -5$.

¿Cómo probar que esta es la única solución?

Answer 1

$$ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25 \\ (x + 5)^2 + (y + 9)^2 = 25 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} (x - 1)^2 + \left(\left(-\frac{3}{4}x - \frac{13}{2}\right) + 1\right)^2 = 25 \\ (x + 5)^2 + \left(\left(-\frac{3}{4}x - \frac{13}{2}\right) + 9\right)^2 = 25 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} \frac{25}{16}\left(x^2+4x+20\right) = 25 \\ \frac{25}{16}\left(x^2+4x+20\right) = 25 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x^2+4x+20 = 16 \\ x^2+4x+20 = 16 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x^2+4x+4 = 0 \\ x^2+4x+4 = 0 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} (x+2)^2 = 0 \\ (x+2)^2 = 0 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x=-2 \\ x=-2 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x=-2 \\ x=-2 \\ y = -\frac{3}{4}(-2) - \frac{13}{2} \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x=-2 \\ x=-2 \\ y = -5 \end {cases} \ Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x=-2 \\ y = -5 \end {casos} $$

Answer 2

Como dijo el otro, su argumento ya demostró que sólo hay una solución.

Usted puede hacer un chequeo independiente resolviendo las ecuaciones gráficamente.

$(x−1)^2 +(y+1)^2 =25$ Es la ecuación de un círculo, el radio$5$, center$(1, -1)$. La segunda ecuación es otro círculo, y los círculos tienen dos puntos de intersección. La tercera ecuación representa una línea recta, que atraviesa sólo uno de los puntos de intersección.

Answer 3

Supongo que usted ha comprobado que la $(x,y) = (-2,-5)$ es de hecho una solución.

¿Por qué es la única?

Lo es, porque han demostrado que sus tres ecuaciones implican que $(x+2)^2=0$, lo que implica $x=-2$. En otras palabras, lo que las soluciones de $(x,y)$ las tres ecuaciones originales tienen, han demostrado que todos deben tener la propiedad de que la $x=-2$.

Pero dado que el $x=-2$, la última de las tres ecuaciones muestran que debemos tener $y=-5$. En conclusión, si hay una solución a sus tres ecuaciones, entonces debe de ser $(x,y)=(-2,-5)$ (y usted necesita para comprobar que esta es una solución, porque se puede terminar fácilmente en el caso de que no hay ninguna solución en absoluto).

Answer 4

Las dos primeras son las ecuaciones de los círculos. Dos círculos pueden no tener ningún punto en común, o sólo uno de tangencia punto o dos puntos de intersección o de todos los puntos si en realidad son el mismo círculo.

Es fácil comprobar que este no es el primer ni el último caso. Ahora, resta la primera ecuación de la segunda:

$ \begin{cases} (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 25 \\ (x^2 + 10x + 25) + (y^2 + 18y + 81) = 25 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end{casos} $

$ \begin{cases} x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25 \\ 12x + 24 + 16y + 80 = 0 \\ y = -\frac{3}{4}x - \frac{13}{2} \end{casos} $

Ahora la segunda y la tercera ecuación de hacer un sistema de ecuaciones lineales, por lo que sólo puede tener cero, uno o infinidad de satisfacciones puntos–, pero ciertamente no de dos. Q. E. D.