Arctangente exacto de producto de tangentes

Question

Calcular$x$, if$$\tan(x)=\tan9\tan69\tan33$ $

(Usando grados sexagesimales) Dado que$\tan3x=\tan(60-x)\tan x \tan(60+x)$: \begin{align*} \tan27&=\tan69\tan9\tan51\\ \implies\tan27\tan39&=\tan69\tan9 \end {align *}

Así que el problema es equivalente a calcular$x$ in$$\tan(x)=\tan27\tan33\tan39$ $ Pero eso es todo mi progreso hasta ahora. Curiosamente, la respuesta es$x=15$. ¿Hay alguna manera tu de resolver constructivamente la ecuación? Si no, una prueba directa de$\tan(15)=\tan9\tan69\tan33$ sería agradable también.

Answer 1

$$ \tan(x)=\tan(9)\tan(69)\tan(33) $ $$$ \tan(x) = \frac{\tan(39)\tan(3)}{\tan(9)} $ $

Ahora voy a demostrar que,

ps

Dejamos$$ \tan^2(x) = \tan(3)\tan(33)\tan(39)\tan(69) $ y$$ \tan^2(x) = \tan(3)\tan(3-36)\tan(3-72)\tan(3+36) $ Entonces,$$ \tan^2(x)\tan(75) = \tan(3-72)\tan(3-36)\tan(3)\tan(3+36)\tan(3+72) $ $ Similarmente podemos obtener$$ \tan(5x)= \tan(x-72)\tan(x-36)\tan(x)\tan(x+36)\tan(x+72) $ y luego multiplicar. Nosotros muy fácilmente obtener la identidad anterior. Así que tenemos$z=\cos(x)+i\sin(x)$ $