¿Existe un espacio métrico en$\mathbb{R}$ tal que los conjuntos abiertos de espacio métrico euclidiano no están abiertos?

Question

Si$X$ es un espacio métrico junto con una función métrica$d$, llamamos$U \subseteq X$ open if for all$u \in U$ dónde $\epsilon > 0$.

Por lo tanto, mi pregunta es que podemos tener una métrica en$B_{\epsilon}(u) \subseteq U$ tal que los intervalos abiertos (de métrica euclidiana) no están abiertos en esta métrica particular que proporcionamos? O, ¿podemos probar que los intervalos abiertos siempre están abiertos en cualquier otra métrica? En este último caso, por supuesto, los intervalos abiertos pueden estar cerrados y abiertos.

Answer 1

Tome una bijección aleatoria, totalmente loca$h:\Bbb R\to \Bbb R$, luego defina una métrica$d'$ en$\Bbb R$ haciendo$h$ una isometría de$(\Bbb R, d)$, con la métrica euclidiana, para Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org O tomar una bijection$(\Bbb R, d')$, y hacer básicamente lo mismo.