Esto es bastante detallada pregunta: estoy tratando de entender algunas partes de la prueba de la siguiente Lema. He colocado las estrellas ( $\bigstar$ ), donde me gustaría llamar su atención.
Lema: Vamos a $P:Y\to X $ una cubierta de proyección y $ f: Z \to X $ un mapa continuo donde $Z$ es simplemente conectado y localmente ruta de acceso conectado espacio. Supongamos que dado los puntos de base de $x_0, y_0, z_0$$X,Y,Z$$p(y_0) = x_0 = f(z_0) $. Entonces existe un único continuo $ \tilde{f} : Z \to Y$$ p \tilde{f} = f$$ \tilde{f}(z_0) = y_0$.
La prueba, que se resumen/parafraseado, es como sigue:
Dado $ z \in Z$, elija una ruta de $u$$z_0$$z$$Z$. Deje $ \tilde{u} $ ser la única elevación de $fu$ a un camino de $Y$ a partir de a $y_0$, y definir $ \tilde{f}(z) = \tilde{u}(1) $.
Puede mostrarle $ \tilde{f} $ está bien definido, y que es la única posible asignación que podría funcionar. Queda por demostrar que es continua.
Para ello, vamos a $ z \in Z$ y deje $V$ ser un barrio de $ \tilde{f}(z)$. Sin pérdida de generalidad ($\bigstar$), podemos suponer $V$ es de la forma $ h^{-1}(U \times {d}) $ donde $U$ nos uniformemente cubierto barrio de $ p\tilde{f}(z) = f(z)$ $ h: p^{-1}(U) \to U \times D$ es un homeomorphism con $D$ discretos.
$f^{-1}(U)$ es una vecindad de a $z$, por lo que contiene una ruta de acceso conectado barrio de $W$. Para cualquier $ z' \in W$, se puede elegir un camino de $z_0$ $z'$de la forma $u.v$ donde $u$ es un camino de $z_0$ $z$ $v$toma valores en $W$. Ahora $fv$ toma valores en $U$, que es uniformemente cubierto por $p$. Por lo que su elevación a un camino de $Y$ a partir de a $\tilde{f}(z)$ debe tomar valores en $V \ (\bigstar \bigstar)$, y, en particular,$ \tilde{f}(z') = \tilde{(u.v)}(1) \in V$. Por lo $W \subseteq \tilde{f}^{-1}(V) $ y, por tanto, $\tilde{f}$ es continua.
Mi confusiones son como sigue:
$ \bigstar $: Es el siguiente razonamiento de por qué este no pierde generalidad correcta? Dado cualquier $y = \tilde{f}(z)$, considere la posibilidad de $ p(y) $. Podemos encontrar una manera uniforme cubierto de vecindad $U$ contiene $p(y)$. Entonces hay una homeomorphism $ h : p^{-1} (U) \to U \times D$ donde $D$ es un espacio discreto. A continuación, $ (p(y), d) \in U \times \{d\} $ cualquier $ d \in D$$ h^{-1} (p(y),d) \subseteq h^{-1} (U \times \{d\})$. Pero $ h^{-1}(p(y),d) = p^{-1} p(y) $ que contiene $y$.
$ \bigstar \bigstar $: Estoy confundido con este bit. Intuitivamente, $ p^{-1}(U)$ 'parece' un montón de copias de $U$, e $V$ es una de esas copias. Pero no puedo convertir esto en definitiva la razón por la $ \tilde{v} $ (es decir, el levantamiento de $fv$) debe estar completamente contenida dentro de $V$. En una nota diferente, estoy en lo correcto en decir $ V \cong U $? Estoy convencido de que hay un conjunto simple de la teoría de la explicación, pero es eludir mí.
Cualquier ayuda será muy apreciada - entiendo que este es un post largo.
Gracias.
