Si$n$ es cualquier número impar, pruebe que$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{k} \equiv 0 \pmod{n}}$.

Question

Tengo una fuerte sensación de que el teorema de Lagrange podría estar involucrado de alguna manera, pero no puedo traducirlo a ningún trabajo que parezca conducir a ninguna parte.

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Obsérvese, por ejemplo, que en

ps

Tenemos$$\frac{6!}{1} + \frac{6!}{2} + \ldots + \frac{6!}{5} + \frac{6!}{6}$ es divisible por siete,$\frac{6!}{1} + \frac{6!}{6}$ es divisible por 7,$\frac{6!}{2} + \frac{6!}{5}$ es divisible por 7.

En general esto es cierto. Tenga en cuenta que

ps

Que, vemos, es divisible por$\frac{6!}{3} + \frac{6!}{4}$. Esto también explica por qué$$\frac{(n-1)!}{k} + \frac{(n-1)!}{n-k} = \frac{n!}{k(n-k)}$ tiene que ser extraño, por lo que los términos en el par de suma.

Answer 2

SUGERENCIA: Deja$S(n):=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{k}$. Entonces para todo$n>1$ algunos álgebra muestra que$$S(n+2)=n(n+1)S(n)+(2n+1)\cdot(n-1)!.$ $

Answer 3

Ideas similares como las anteriores: Let$x = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{k}$

Entonces podemos reescribir$x = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{n-k}$

Añadiendo tenemos$2x = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k(n-k)} = 0 \mod n$

Como$n$ es impar,$x = 0 \mod n$