Diez y once polígonos con círculos.

Question

Tengo problemas con la pregunta de abajo:

Dado un polígono no necesariamente convexo de 10 lados, dibuja círculos con sus lados como diámetros. ¿Es posible que todos estos círculos pasen por un punto que no sea un vértice de este polígono de 10 lados?

Haz lo mismo con un polígono de 11 lados.

He intentado simplemente dibujar bocetos de varias situaciones y actualmente estoy pensando que no es posible

Answer 1

Dados los puntos $A$ y $B$ es un hecho bien conocido que los puntos $P$ para el cual $ \angle APB$ es $90$ grados forman un círculo con $AB$ como su diámetro.

La pregunta pide un decágono tal que los círculos dibujados alrededor de cada borde (usando ese borde como su diámetro) se intersecten en un punto. Si ese punto se llama $P$ entonces sabemos que $ \angle A_iPA_{i+1}$ es $90$ grados para cualquier par de vértices sucesivos $A_i$ y $A_{i+1}$ .

Pongamos el origen en $P$ y que el eje X pase por el primer vértice $A_1$ . El segmento $PA_1$ por lo tanto va a lo largo del eje X. El siguiente segmento, $PA_2$ es perpendicular a $PA_1$ y pasa por el origen, así que debe ir a lo largo del eje Y. El siguiente, $PA_3$ es perpendicular a $PA_2$ así que va a lo largo del eje X de nuevo, y así sucesivamente. Por lo tanto, los vértices $A_1$ , $A_3$ , $A_5$ , $A_7$ y $A_9$ se encuentran en el eje X y los vértices con los índices pares se encuentran en el eje Y.

Aquí hay un ejemplo:

La pregunta entonces se refiere a un 11-gon. Parece imposible hacer que la construcción funcione para cualquier polígono con un número de vértices impar, porque los vértices deben estar alternativamente en el eje x y en el eje y. El último vértice, $A_{11}$ por lo tanto, se encuentra en el eje X al igual que $A_1$ y también lo hace el borde que los conecta. La única manera de que el círculo alrededor de ese borde pase por el origen es si $A_{11}$ en realidad se encuentra en el origen.

Y esto realmente funciona. Poniendo $A_{11}$ en el origen, se encuentra en ambos ejes, y debido a esta ambigüedad se puede considerar que está en un eje diferente a cualquiera de sus vecinos, aunque un vecino esté en el eje x y el otro en el eje y. Sin embargo, es imposible si exigimos que el punto de intersección de los círculos sea distinto de los vértices del polígono.