Al estudio de la teoría de la medida, la importancia de distinguir los diferentes tipos de conjuntos infinitos se hace evidente. Usted quiere ser capaz de medida "razonablemente bien" subconjuntos de la recta real de tal manera que $[0,1]$ tiene una medida de uno. Si usted tiene una colección infinita $E, E', ...$ de subconjuntos disjuntos, desea que la medida de su unión a la suma de sus medidas. La medida debe ser la traducción invariante.
Sin el conocimiento de que existen innumerables subconjuntos de la recta real, este problema podría parecer imposible: todos los puntos tienen la misma medida por la traducción de la invariancia, y todos deben tener medida cero en orden para conjuntos infinitos a tiene medida finita. Pero entonces la medida de $[0,1]$ debe ser igual a cero, y no uno, debido a que su medida es la suma de las medidas de los puntos individuales.
Así, la cardinalidad puede estar fuertemente motivado por algunos conceptos de teoría de la medida. Pero abstracto de la teoría de la medida no llegaría hasta después de Georg Cantor. ¿Qué conceptos o problemas en los finales del siglo xix podría haber motivado a Cantor a venir para arriba con sus resultados acerca de innumerables conjuntos?
