Resolver el captcha de matemáticas que implica un límite y $\sin(1/x)$

Question

El otro día, mientras accedía a una web rusa de aficionados a las matemáticas, me encontré con este captcha:

¿Puede ayudarme a entenderlo y a entrar en ese sitio?

Answer 1

$$|\arctan(x)\sin(1/x)|<|x|$$

Así,

$$\lim_{x\to0}\arctan(x)\sin(1/x)=0$$

Y

$$\lim_{x\to0}\ln\left(2+\sqrt{\arctan(x)\sin(1/x)}\right)=\ln(2)$$

Answer 2

Desde $$\lim_{x \to 0} (\arctan x)=0 \tag1$$

y

$$\lim_{x \to 0} \sin \left(\frac 1x \right) \mbox{ is oscillatory, but} \sin \left(\frac 1x \right)\in [-1,1] \tag2$$

Por $(1)$ y $(2)$ , $$\lim_{x \to 0} \left[(\arctan x) \cdot \sin \left(\frac 1x \right) \right]=0 $$ Por lo tanto:

$$\lim_{x\to0}\ln\left(2+\sqrt{\arctan(x)\sin\left(\frac1x\right)}~\right)=\boxed{\ln(2)}$$

Answer 3

Sólo en aras de la precisión, quiero añadir que otras respuestas son correctas si se supone que el límite en cuestión es un lado . En otras palabras, se muestran:

$$\lim_{x\to{0^+}}\ ln\left(2+\sqrt{\arctan(x)\sin(1/x)}\right)=\ln(2)$$

(observe el signo más en $x\to{0^+}$ )

Sin embargo (véanse los comentarios a la pregunta y a las respuestas), está claro que el límite de los dos lados no existe.