Uso de la Reducción de la Homología

Question

He estado leyendo Hatcher Topología Algebraica, específicamente el párrafo sobre la reducción de homología $\tilde{H}_*$ (por homología singular de espacios topológicos). Por favor alguien puede proporcionar razones por la reducción de homología es definido y estudiado?

Entiendo que los siguientes hechos, que se encuentran todos en Hatcher del libro :

$-$ La reducción de la homología de un punto es $0$.

$-$ La reducción de la homología es la misma en todos los grados $*$ como de costumbre singular de homología para los pares de espacios de $(X,A)$ con $A\neq \emptyset$ : $\tilde{H}_*(X,A)= H_*(X,A)$, y en positivo grados $(*=n>0)$ de los espacios individuales $X$ (que es al $A=\emptyset$). No es el mismo largo de la secuencia exacta en la reducción de la homología de un par de espacios como en el estándar de la homología.

$-$ Grado $0$, uno ha $\tilde{H}_*(X)\oplus\mathbb{Z}\approx H_*(X)$ (aquí coeficientes de homología en $\mathbb{Z}$) (EDIT : se debe leer $\tilde{H}_0(X)\oplus\mathbb{Z}\approx H_0(X)$)

$-$ Para cualquier espacio de $X$, y cualquier punto de $\mathrm{pt}\in X$, hay un isomorfismo $\tilde{H}_*(X)\approx H_*(X,\lbrace \mathrm{pt}\rbrace)$

$-$ Esto a su vez implica que, al $A\subset U\subset X$ es tal que $A$ es cerrado, $U$ está abierto, y $A$ es una fuerte deformación de retractarse de $U$, entonces no es una secuencia exacta en la reducción de la homología (que se deriva de una secuencia exacta para el estándar de la homología singular)

$$\cdots\rightarrow\tilde{H}_*(A)\rightarrow\tilde{H}_*(X)\rightarrow\tilde{H}_*(X/A)\rightarrow\cdots$$

Todo esto es fácil de probar, pero no me dice por qué la reducción de homología se define y cuando se utiliza. Por favor alguien puede arrojar algo de luz sobre este asunto?

Answer 1

La razón principal para preferir reducción de homología (según los expertos) es que la suspensión axioma sostiene en todos los grados, como debe ser cuando uno generaliza a partir de los espacios a los espectros y a los estudios generalizada la homología de las teorías. Además, al utilizar la reducción de homología, uno no necesita explícitamente el uso de pares de espacios desde $H_*(X,A)$ es la reducción de la la homología de la cofiber $Ci$ de la inclusión $i\colon A\to X$.
El Eilenberg-Steenrod axiomas de homología teorías tienen una variante la versión para la reducción de teorías, y de la reducción y no reducido de las teorías determinar cada uno de los otros. (Véase, por ejemplo, mi libro `Una breve curso en topología algebraica").

Answer 2

Reducción de homología se utiliza, principalmente, para simplificar las declaraciones.

Por ejemplo, no es cierto que la homología de una cuña de dos espacios de $X\vee Y$ es la suma directa de las homologías de $X$ e de $Y$, pero el único problema es, en realidad en el grado $0$. Es cierto, por otra parte, que la reducción de la homología de $X\vee Y$ es la suma directa de la reducción de las homologías de $X$ e de $Y$. Esto sucede en varios otros contextos.

N. B.: Usted debe tener cuidado con los isomorphisms que usted menciona, para los que generalmente no son naturales.

Answer 3

En primer lugar $H_0$ no es particularmente interesante, ya que nos tratan con frecuencia espacios conectados de todos modos. Aparte de que, en varios exacta de las secuencias, como la de Mayer-Vietoris, utilizando el estándar de homología nos deja con un montón de $\mathbb{Z}$'s al final. Pero exacta de las secuencias son mucho más agradable con $0$'s en su lugar! Reducción de homología nos da la " exacta'ly esto!